Gruppenhomomorphismus, neutrales Element, Beweis

Question

Aufgabe:

Seien $(G, \circ),(H, \cdot)$ Gruppen.

Sei $f: G \rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie $f\left(e_{G}\right)=e_{H}$ und $f\left(g^{-1}\right)=(f(g))^{-1}$ für alle $g \in G$, wobei $e_{G}$ und $e_{H}$ die neutralen Elemente der Gruppen sind.

Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen. Danke im voraus

Answer 1

Das neutrale Element einer Gruppe ist das einzige idempotente

Element der Gruppe, d.h. das einzige Element $x$ mit $x\circ x = x$.

Nun ist $f(e_G)=f(e_G\circ e_G)=f(e_G)\circ f(e_G)$,

$f(e_G)$ ist also idempotent und daher das neutrale Element

$e_H$ von $H$.

$e_H=f(e_G)=f(g\circ g^{-1})=f(g)\circ f(g^{-1})\Rightarrow f(g^{-1})=(f(g))^{-1}$.