Zeigen sie, das for de a b ∈ \mathbb{F}p grhe: (a+b)p=ap+bp

Question

Text erkannt:

Seven $p$ und $\mathbb{E}_{p}$ we in $(b)$. Zeigen sie, das for de $a b \in \mathbb{F}_{p}$ grhe: $(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$

Aufgabe:

Answer 1

Nach dem binomischen Satz gilt$$(a+b)^p=\sum_{k=0}^p {p \choose k} a^kb^{p-k}$$Nun ist für $1\leq k\leq p-1$ der Zähler von

$\frac{p!}{k!\cdot (p-k)!}$ durch $p$ teilbar, aber nicht der Nenner.

Daher sind in $\mathbb{F}_p$ alle Binomialkoeffizienten ${p\choose k}=0$ für

$k=1,\cdots,p-1$.

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Hilfreich ist in diesem Zusammenhang

https://www.mathelounge.de/975389/zeigen-sie-dass-fur-eine-korper-pa…