Wie muss man hier vorgehen?

Question

Aufgabe:

Gesucht sind positive natürliche Zahlen $a, u, v$ mit $u \leq v$ so, dass $a=u+v$ und $125 \cdot a=u^{2}+v^{2}$ gilt.

Geben Sie $a, u, v$ mit größtmöglichem $v$ an.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand den Lösungsweg aufschreiben, bzw. die Aufgabe vorrechnen?

Comments

Ist das 'ne Wettbewerbsaufgabe?

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$u=75$ und $v=150$ ist wohl die Lösung mit dem größten $v$

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nein nur eine Übung, aber wie sind sie darauf gekommen?

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Wie sind sie auf die Ergebnisse gekommen

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Es gibt noch eine zweite Lösung mit diesem größten v.

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Es gibt noch eine zweite Lösung mit diesem größten v.

Es gibt für so ziemlich jede Lösung - je nach Definitionsbereich - mindestens eine zweite Lösung. Das liegt an der Symmetrie des Kreises ;-)

Für eine Lösung $(u,\,v)$ gibt es noch die Lösungen $(125-u,v)$, $(u,\,125-v)$ und $(125-u,\,125-v)$ (je nach Definitionsbereich)

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Setze das $a$ aus der ersten Gleichung in die zweite ein:$$\implies u^2+v^2 - 125u-125v = 0$$Das ist ein Kegelschnitt, genauer ein Kreis. Der sieht so aus:

Alle Lösungen für $(u,v)$ liegen auf dem Kreis. Da nach einem möglichst großen $v$ gesucht ist, berechne man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis. Der liegt im Intervall $(150\dots 151)$. Und dann hab ich für $v=150$ einfach das zugehörige $u$ berechnet.

Gruß Werner

Comments

wie berechnet man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis.

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wie berechnet man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis.

Ok - in welcher Klasse bist Du?

Du kannst die Gleichung oben durch quadratische Ergänzung in die 'Kreisgleichung' umformen: (hier mit $x$ und $y$ statt $u$ und $v$)$$\begin{aligned} x^2+y^2-125x-125y &= 0 \\ x^2 - 125 x + \left(\frac{125}{2}\right)^2 +y^2 - 125y + \left(\frac{125}{2}\right)^2&= 2\left(\frac{125}{2}\right)^2 \\ \left(x-\frac{125}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{125}{2}\right)^2 &= 2\left(\frac{125}{2}\right)^2 \\ (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 &= r^2\end{aligned}$$D.h. für Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ gilt$$M = \left(\frac{125}{2},\, \frac{125}{2}\right)^T \quad r = \frac{125}{\sqrt{2}}$$Also liegt der höchst gelegenen Punkt bei $$P_{y\,\max} = M + r\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{125}{2}\\\frac{125}{2} + \frac{125}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 62,5\\150,9 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Warum fängst du nicht mit (u+v)²=a² an? Rechne das Binom aus und überlege dann.

Vorrechnen willst du doch wohl eigentlich nicht.

lul

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doch das wäre schon recht hilfreich

Answer 3

Es gibt fünf Lösungen mit positiven ganzen Zahlen.

:-)

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Es gibt fünf Lösungen mit positiven ganzen Zahlen.

Und einen Fragesteller, der die gleiche Frage (ach, was sage ich - den gleichen Screenshot) in mindestens zwei Foren einstellt.

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Nicht eher sieben? Davon zwei mit dem größten v.