Basis in Linearkombination überführen

Question

Sei (b1, b2, . . . , bn) Basis eines Vektorraumes V. Beschreibe alle Vektoren x ∈ V derart, dass
jede der Familien (x, b2, . . . , bn), (b1, x, . . . , bn), . . . , (b1, . . . , bn−1, x) eine Basis von V ist.
Anleitung: Stelle x als Linearkombination der Basis (b1, b2, . . . , bn) dar.

Müsste man dann nicht einfach schreiben x= (x1*b1+x2*b2,.....xi*bn)? Was müsste man sonst noch genau tun?

Comments

Du sollst geeignete x_i finden, so dass das dadurch definierte x die gewünschte Eigenschaft hat.

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Wie genau würde das bei der ersten Familie funktionieren? Soll ich das x als LK darstellen, ich kann mir das so schwer vorstellen.

Answer 1

x= (x1*b1+x2*b2,.....xi*bn)

Ist x1 = 0, dann ist (x, b2, . . . , bn) keine Basis von V.

Comments

Wäre dann bei der ersten Familie folgende Linearkomnbination möglich? (xi*x+xi*b2,....xi*bn)=0

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Möglich ist vieles. Was schlägst du als x vor?

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Ich bin mir nicht sicher, aber ginge nicht einfach x≠0?

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Nein. Die Famillie

        $\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)$

ist eine Basis von $\mathbb{R}^2$. Es ist

        $\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} \neq 0$.

Die Famillie

    $\left(\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)$

ist keine Basis von $\mathbb{R}^2$.

Tipp. Stelle $\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$ als Linearkombination von $\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)$ dar und erkenne den Zusammenhang zu meiner Antwort.

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Aso, soll ich die Vektoren x gezielt so wählen, dass halt lineare Unabhängigkeit zustande kommen soll, sprich eine Basis sich bildet

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Ja. Das ist es, was mit

dass jede der Familien (x, b2, . . . , bn), [...] eine Basis von V ist.

gemeint ist.

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Eventuell blöde Frage aber kann man nicht sagen, dass x=b_1 bei der ersten Familie sein muss?

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$x$ muss nicht $b_1$ sein. Wenn $(b_1, b_2,\dots , b_n)$ eine Basis von $V$ ist, dann ist auch $(2b_1, b_2,\dots , b_n)$ eine Basis von $V$.

Außerdem darf $x$ auch nicht $b_1$ sein, weil dann $(b_1, x,b_3,\dots , b_n)$ keine Basis von $V$ ist.

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Und soll ich jetzt bestimmte Zahlen wählen für den Vektor x oder wie genau? Ich komm nicht ganz dahinter

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1. Sei $V = \mathbb{R}^3$. Dann ist

           $\left(\begin{pmatrix}6\\2\\-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9\\-2\\7\end{pmatrix}\right)$

   eine Basis von $V$.
   

   Finde eine Linearkombination

            $x = x_1\begin{pmatrix}6\\2\\-5\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}9\\-2\\7\end{pmatrix}$,

   so dass die drei Familien

   • $\left(x,\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9\\-2\\7\end{pmatrix}\right)$,
   • $\left(\begin{pmatrix}6\\2\\-5\end{pmatrix},x,\begin{pmatrix}9\\-2\\7\end{pmatrix}\right)$ und
   • $\left(\begin{pmatrix}6\\2\\-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\-4\\8\end{pmatrix},x\right)$

   ebenfalls Basen von $V$ sind.

2. Finde alle weiteren $x$, so dass die obigen drei Familien ebenfalls Basen von $V$ sind.
3. Verallgemeinere deine Ergebnisse auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume.
   

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Könnte man die kanonische Basis nicht einfach nehmen?

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1. und 2. dienen nur zum Verständnis der Aufgabenstellung und als Vorbereitung für 3. Insofern darfst du auch die kanonische Basis nehmen. Letztendlich musst du aber eine Aussage beweisen, die für jeden endlichdimensionalen Vektorraum und jede Basis gilt.