0 Daumen
215 Aufrufe

Aufgabe:

Zeige: Falls zu einer Funktion f und einem Punkt x0 ∈ D beide einseitige Limes existieren und gleich

sind, so existiert auch der Limes im Punkt x0.

Wie zeige ich sowas?

von

Hallo

Einfach die Stetigkeit Definition anwenden.

lul

Wo steht hier etwas von Stetigkeit?

Wie habt Ihr denn den Funktionsgrenzwert definiert (Folgen oder epsilon / delta)?

Hallo, danke erstmal für viele Hilfe. Habe das aus dem Skript rausgesucht:

... \( \lim\limits_{x\to\\x_0} \) f = f(x0) ...

Beispiel:

....x, y ∈ [a, b] |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|, so ist f stetig auf [a, b].....

Sollte die Epsilon / Delta Geschichte sein. Nur bin ich leicht überfordert und hab meine Lösung für diese Aufgabe lediglich mit Text als mit "Rechnungen bewiesen" @Mathhilf

Wir hatten das mit der Folgen-Definition :^)


Falls F∈ℝ existiert, sodass für jede Folge D\{a}∋an → a, n → ∞, f(an) → F, n → ∞, so sagen wir, f konvergiert für x gegen a gegen F

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

ich gehe dann mal von epsilon / delta aus. Es sei also w der links- und rechtsseitige Grenzwert im Punkt a aus D, d.h.

$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a-\delta,a) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ linksseitig}$$

$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a,a+\delta) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ rechtsseitig}$$

Dann ist w auch Funktionsgrenzwert von f im Punkt a. Denn: Es sei \(\epsilon>0\) gegeben. Wir wählen dazu \(\delta_1\) gemäß "linksseitig" und \(\delta_2\) gemäß "rechtsseitg" und setzen \(\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}\). Dann gilt

$$(a-\delta,a+\delta) \setminus\{a\} \sube (a-\delta_1,a) \cup (a,a+\delta_2) \\ \Rightarrow f:\;(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \to (w-\epsilon,w+\epsilon)$$

Gruß Mathhilf

von 10 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community