Begründen Sie Ihre Antworten für die Grenzwert

Question

Aufgabe:

falls den Grenzwert. Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) \( a_{n}=\frac{n}{2^{n}} \)
(b) \( b_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n \)
(c) \( c_{n}=\sqrt[n]{x^{n}+y^{n}} \quad(0<x<y) \).

Comments

Zu (a)  Z.B. kann man per Induktion über \(n\) zeigen, dass \(n^2<2^n\) für alle \(n>4\) ist. Daraus
folgt \(a_n=\frac n{2^n}<\frac1n\). Da \(\frac1n\) bekanntlich eine Nullfolge und \(a_n>0\) ist, muss nach dem Sandwichlemma
auch \(a_n\) eine Nullfolge sein.

Answer 1

Hallo

wenn du dle GW bestimmt hast, weisst du ja wie und das ist die Begründung.

oder du musst ein N angeben so dass für alle an gilt |an-a|<ε wenn a der GW ist.

Gruß lul

Answer 2

a) 2ⁿ wächst schneller als n -> Nullfolge, Grenzwert 0

b) Erweitere zur 3. binom. Formel -> Nullfolge

c) xⁿ kann man vernachlässigen -> lim = x

Comments

Was genau meinst du mit wächst schneller ? 3n wächst auch schneller als 2n, aber \(\frac{2n}{3n}\) ist keine Nullfolge.

---

Es heißt doch 2ⁿ.

Die Potenz wächst schneller. Das wollte ich sagen.

Das sollte als Begründung ausreichen oder nicht?