Gleichung tangente an Graph f(x)=1/3xquadrat x0= -2

Question

Text erkannt:

9. a) Wie lautet die Gleichung der Tangente \( t_{1} \) an den Graphen von \( f(x)=\frac{1}{3} x^{2} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0}=-2 \) ?
b) Welche Tangente an den Graphen von \( \mathrm{f} \) ist orthogonal \( \mathrm{zu}_{1} \) ?

Aufgabe:

Kann mir jemanden bei der Aufgabe 9a helfen ?

Comments

hier der Graph zur Veranschaulichung.

Die Lösung kam schon von Silvia, das muss du nur noch nachrechnen.

Answer 1

Hallo,

\(f(x)=\frac{1}{3}x^2\\ f'(x)=\frac{2}{3}x\)

allgemeine Geradengleichung: y = mx + n mit m = Steigung = 1. Ableitung

Bilde also f'(-2) für m und f(2) für y

Setze dann, um n zu bestimmen, deine Ergebnisse in die Geradengleichung ein und löse nach n auf.

zum Vergleich:

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\(f(-2)=\frac{4}{3}\quad f'(-2)= -\frac{4}{3}\\ \frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\cdot (-2)+n\\ n=-\frac{4}{3}\\ t(x)=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\)

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b) Für die Steigung orthogonaler Geraden gilt \(m_1\cdot m_2=-1\). Mit anderen Worten die Steigung der gesuchten Senkrechten ist der negative Kehrwert von t, also \( \frac{3}{4} \). Setze die 1. Ableitung = \( \frac{3}{4} \) und löse nach x auf. Danach gehst du vor wie oben oder verwendest wie ggT22 die Punkt-Steigungs-Form.

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\(\frac{2}{3}x =\frac{3}{4}\\ x=\frac{9}{8}\\ f(\frac{9}{8})=\frac{27}{64}\\ \frac{27}{64}=\frac{3}{4}\cdot \frac{9}{8}+n\\ n=-\frac{27}{64}\\ g(x)=\frac{3}{4}x-\frac{27}{64}\)

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Gruß, Silvia

Answer 2

Formel:

t(x) = (x-x0)*f '(x0)+ f(x0)

x0= -2

f(--2) = 4/3

f '(-2) = -4/3

t(x) = (x+2)* (-4/3) +4/3 = -4/3*x - 4/3