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Es seian : =∑k=1nn2+kn3+k fu¨r n∈N. a_{n}:=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{n^{2}+k}{n^{3}+k} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \text {. } an : =k=1∑nn3+kn2+k fu¨r n∈N. Untersuche die Folge (an)n∈N \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} (an)n∈N auf Konvergenz und bestimme ggf. ihren Grenzwert.
Aufgabe:
Schon Konvergenzkriterien für Reihen gehabt?
Wenn ja Minorantenkriterium, kannst dir Reihe nach unten abschätzen durch 1/n
Was heißt das für die Konvergenz der Folge (an)n∈N(a_n)_{n\in\N}(an)n∈N ?
Für 1≤k≤n1\le k\le n1≤k≤n gilt(1)n2+kn3+k≤n2+nn3+1(2)n2+kn3+k≥n2+1n3+n\quad(1)\quad\frac{n^2+k}{n^3+k}\le\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\quad(2)\quad\frac{n^2+k}{n^3+k}\ge\frac{n^2+1}{n^3+n}(1)n3+kn2+k≤n3+1n2+n(2)n3+kn2+k≥n3+nn2+1Es folgt∑k=1nn2+1n3+n≤∑k=1nn2+kn3+k≤∑k=1nn2+nn3+1 ⟹ n⋅n2+1n3+n≤an≤n⋅n2+nn3+1 ⟹ 1≤an≤1+n2−1n3+1.\qquad\sum_{k=1}^n\frac{n^2+1}{n^3+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k}\le\sum_{k=1}^n\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\implies n\cdot\frac{n^2+1}{n^3+n}\le a_n\le n\cdot\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\implies1\le a_n\le 1+\frac{n^2-1}{n^3+1}.k=1∑nn3+nn2+1≤k=1∑nn3+kn2+k≤k=1∑nn3+1n2+n⟹n⋅n3+nn2+1≤an≤n⋅n3+1n2+n⟹1≤an≤1+n3+1n2−1.Nach dem Sandwichlemma ist also limn→∞an=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1n→∞liman=1.
Hi, hab das eben mal am Ipad runtergeschrieben. Wenn du das n ausklammerst und n -> unendlich laufen lässt, dann kommst du auf 1/n. 1 geteilt durch eine sehr große zahl ist eben 0 bzw nahe 0. Grenzwert: 0
Wo ist denn beim Ausklammern von n2n^2n2 die Summe geblieben?
Da steht eine Summe, nicht nur ein Term.
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+sum+%28n%5E2%2Bk%29%2F%28n%…
Wie hättest du es gelöst? @ggT22
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