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Aufgabe:

n=1((1)n(2n+1))/nxn \sum\limits_{n=1}^{\infty}{((-1)^n*(2^n+1))/n *x^n}

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Betrachte anan+1=2n+1n2n+1+1n \frac{ | a_n| }{ | a_{n+1}|} = \frac{ \frac{ 2^{n} +1}{n}}{\frac{ 2^{n+1} +1}{n} }

=n+1n2n+12n+1+1 = \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1}

hat für n gegen unendlich den Grenzwert 0,5 = Konv.rad.

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Kann man auch das Wurzelkriteriun anwenden oder wie funktioniert des mit dem Grenzwert?

=n+1n2n+12n+1+1=n+1n1+12n2+12n+1= \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1} =\frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} }  

So klarer ?

Ist der Radius nicht 1/Grenzwert

Schau mal dort.

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konver…

Kommt ja drauf an, ob du an/an+1 oder den Kehrwert nimmst.

Wieso muss man das (-1)n nicht berücksichtigen?

Ich komm auf (0+1) *(1+2/2+1) = 1

limnn+1n1+12n2+12n+1=11+02+0=0,5 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} } = 1 \cdot \frac{1+0}{2+0} = 0,5

Wieso muss man das (-1)n nicht berücksichtigen?

Es geht nur um die Beträge.

Und wie wäre das Verhalten an den Rändern? Divergenz?

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Der Koeffizienz an=(1)n2n+1na_n = (-1)^n\frac{2^n+1}{n} enthält als am stärksten wachsenden Term die Potenz 2n2^n. Das schreit nach Wurzelkriterium: (Beachte: limnnn=1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n = 1)

1an=nn2n+1n=12nn1+12nnn12\frac 1{\sqrt{|a_n|}} = \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{2^n + 1}}= \frac 12 \cdot \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{1 + \frac 1{2^n} }}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 12

Der Konvergenzradius beträgt also 12\frac 12.

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Und wie wäre das Verhalten an den Rändern? Divergenz?

Hallo hallo543,

du musst nur x=±12x=\pm \frac12 einsetzen.

Für x=12x=\frac12 bekommst du eine konvergente Reihe per Leibniz-Kriterium.

Für x=12x=-\frac12 herrscht Divergenz, da du die Reihe nach unten durch die divergente harmonische Reihe n=11n\sum_{n=1}^\infty \frac 1n abschätzen kannst.

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