Aufgabe:
∑n=1∞((−1)n∗(2n+1))/n∗xn \sum\limits_{n=1}^{\infty}{((-1)^n*(2^n+1))/n *x^n} n=1∑∞((−1)n∗(2n+1))/n∗xn
Betrachte ∣an∣∣an+1∣=2n+1n2n+1+1n \frac{ | a_n| }{ | a_{n+1}|} = \frac{ \frac{ 2^{n} +1}{n}}{\frac{ 2^{n+1} +1}{n} } ∣an+1∣∣an∣=n2n+1+1n2n+1
=n+1n⋅2n+12n+1+1 = \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1} =nn+1⋅2n+1+12n+1
hat für n gegen unendlich den Grenzwert 0,5 = Konv.rad.
Kann man auch das Wurzelkriteriun anwenden oder wie funktioniert des mit dem Grenzwert?
=n+1n⋅2n+12n+1+1=n+1n⋅1+12n2+12n+1= \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 2^{n} +1}{2^{n+1}+1} =\frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} } =nn+1⋅2n+1+12n+1=nn+1⋅2+2n+111+2n1
So klarer ?
Ist der Radius nicht 1/Grenzwert
Schau mal dort.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konver…
Kommt ja drauf an, ob du an/an+1 oder den Kehrwert nimmst.
Wieso muss man das (-1)n nicht berücksichtigen?
Ich komm auf (0+1) *(1+2/2+1) = 1
limn→∞n+1n⋅1+12n2+12n+1=1⋅1+02+0=0,5 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ n +1}{n} \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{2^{n}} }{2 + \frac{1}{2^{n+1}} } = 1 \cdot \frac{1+0}{2+0} = 0,5n→∞limnn+1⋅2+2n+111+2n1=1⋅2+01+0=0,5
Es geht nur um die Beträge.
Und wie wäre das Verhalten an den Rändern? Divergenz?
Der Koeffizienz an=(−1)n2n+1na_n = (-1)^n\frac{2^n+1}{n}an=(−1)nn2n+1 enthält als am stärksten wachsenden Term die Potenz 2n2^n2n. Das schreit nach Wurzelkriterium: (Beachte: limn→∞nn=1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n = 1limn→∞nn=1)
1∣an∣=nn2n+1n=12⋅nn1+12nn⟶n→∞12\frac 1{\sqrt{|a_n|}} = \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{2^n + 1}}= \frac 12 \cdot \frac{\sqrt[n] n}{\sqrt[n]{1 + \frac 1{2^n} }}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 12∣an∣1=n2n+1nn=21⋅n1+2n1nn⟶n→∞21
Der Konvergenzradius beträgt also 12\frac 1221.
Hallo hallo543,
du musst nur x=±12x=\pm \frac12x=±21 einsetzen.
Für x=12x=\frac12x=21 bekommst du eine konvergente Reihe per Leibniz-Kriterium.
Für x=−12x=-\frac12x=−21 herrscht Divergenz, da du die Reihe nach unten durch die divergente harmonische Reihe ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty \frac 1n∑n=1∞n1 abschätzen kannst.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos