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Aufgabe:

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Bestimmen Sie eine Matrix A A , so dass die zugehörige lineare Abbildung fA : R3R4 f_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} das Bild
Bild(fA)=V : ={(x1x2x3x4)R4x1+x2+x3+x4=0} \operatorname{Bild}\left(f_{A}\right)=V:=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\}
hat.
Geben Sie weiterhin eine 4×4 4 \times 4 Matrix B B an, für die fB f_{B} dasselbe Bild hat.


Problem/Ansatz:

Hallo, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, mein Ansatz ist: das Matrix Bildungsverfahren wo man anand einer Matrix ein Bild berechnet einfach anderes herum zu machen und die schritte wie: Transponieren, zeilensufenform usw. in anderer reinfolge zu machen bis man die Matrix hat. Kann mir jemand sagen, ob dies so richtig ist und falls nicht, erklären wie es dann geht bzw. Rechenbeispiele bringen. Ebenfalls bei dem zweiten teil bin ich sehr überfordert "4x4 Matrix B an, für fB dasselbe Bild hat"

LG

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Alle Vektoren der Menge VV müssen die Bedingung (x1+x2+x3+x4=0)(x_1+x_2+x_3+x_4=0) erfüllen.

Wir stellen diese Bedingung nach einer Variaben um (x1=x2x3x4)(x_1=-x_2-x_3-x_4) und können damit alle Vektoren aus VV direkt angeben:(x1x2x3x4)=(x2x3x4x2x3x4)=x2(1100)+x3(1010)+x4(1001)=(111100010001)=A(x2x3x4)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2-x_3-x_4\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix}x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}Beachte, dass AA nicht eindeutig ist. Du könntest z.B. nach einer anderen Variablen als x1x_1 umstellen.

Die Matrix BB kannst du daraus konstruieren, indem du z.B. der Matrix AA eine 4-te Spalte aus lauter Nullen spendierst.

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Satz. Seien VV und WW Vektorräume und BB eine Basis von VV. Dann gilt:

  1. Zu jeder Abbildung b : BWb:B\to W gibt es genau eine lineare Abbildung fB : VWf_B:V\to W mit

            fB(v)=b(v)f_B(v) = b(v)     für alle vBv\in B.

  2. Zu jeder linearen Abbildung fB : VWf_B:V\to W gibt es genau eine Abbildung b : BWb:B\to W mit

          fB(v)=b(v)f_B(v) = b(v)    für alle vBv\in B.

Dabei ist Bild(fB)\operatorname{Bild}\left(f_B\right) der von {fB(v)WvB}\{f_B(v)\in W|\, v\in B\} aufgespannte Vektorraum.

Finde also Basen von R3\mathbb{R}^3  und von R4\mathbb{R}^4 und bilde sie surjektiv auf eine Basis von Bild(fA)\operatorname{Bild}\left(f_A\right) ab.

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wie genau mache ich das? ich hatte mir die aufgabe viel einfacher vorgestellt :(

Finde also Basen von R3\mathbb{R}^3  und von R4\mathbb{R}^4

Kannst du das?

und bilde sie surjektiv

Weißt du, was surjektiv bedeutet?

auf eine Basis von Bild(fA)\operatorname{Bild}\left(f_A\right)

Hast du eine Basis von Bild(fA)\operatorname{Bild}\left(f_A\right) gefunden?

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