Zeige die Ungleichung für x>0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für jede reelle Zahl x > 0 gilt
$$ x^{314}+x^{271}+x^{42}+624 \geq 627 x . $$

Problem/Ansatz

Für x > 1 ist es ja quasi trivial, man müsste ja nur 1 einsetzen und da die Funktion nur größer werden kann wäre das ja schon genug, also das nehme ich jedenfalls an.
Ich habe allerdings keine Ahnung wie man die Aufgabe für Werte zwischen 0 und 1 löst. Geht das vielleicht mit Abschätzung? Wenn ja weiß ich allerdings trotzdem nicht wie ich das abschätzen könnte.

Vielleicht hat ja einer von euch eine Idee

Comments

Auch für 0<x<624/627 gilt die Ungleichung offensichtlich, weil dann 624>627x gilt.

Answer 1

Der Trick ist hier zu sehen, dass

$$314+271+42 = 627$$

Für \(x> 1\) nutze \((1+x)^n \geq 1+nx\) für natürliches n:$$(1+(x-1))^{314} + (1+(x-1))^{271} + (1+(x-1))^{42} + 624\geq 3+627(x-1) + 624 =627x$$

Für \(0<x< 1\) nutze \(x^n-1 = (x-1)\sum_{k=0}^{n-1}x^k\):

$$x^{314} -1 + x^{271}-1 + x^{42}-1 + 627 =(x-1)\underbrace{\left(\sum_{k=0}^{313}x^k + \sum_{k=0}^{270}x^k + \sum_{k=0}^{41}x^k\right)}_{\leq 627} +627$$

$$\geq (x-1)\cdot627 + 627 =627x$$