Beweisen Sie den Satz:Es sei \left(x_{n}\right) eine beschränkte Folge reeller Zahlen.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie den Satz:
Es sei \( \left(x_{n}\right) \) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann ist auch \( H P\left(x_{n}\right) \) beschränkt und \( H P\left(x_{n}\right) \) hat sowohl ein Maximum als auch ein Minimum.

Problem/Ansatz:

Mit HP ist der Häufungspunkt gemeint. Ich weiß leider nicht was ich tun soll

Comments

Mit  HP(x_n)  soll wohl nicht ein Häufungspunkt, sondern die Menge aller Häufungspunkte der Folge  (x_n)  gemeint sein. Etwas korrekter würde man wohl schreiben:   HP( (x_n) )

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Mein Fehler, da haben Sie natürlich Recht. Weiter weiß ich trotzdem nicht. @rumar

Answer 1

Sei \( H P\left(x_{n}\right) \) die Menge der Häufungspunkte der beschränkten

Folge  \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N} } \)  reeller Zahlen.

Sei O∈ℝ eine obere Schranke für die Folge.

==>    \( \forall n \in \mathbb{N}   a_n  \le  \) O

Angenommen, es gäbe einen Häufungspunkt P, der größer als O ist.

Dann müssten in jeder ε-Umgebung von P unendlich viele

Folgenglieder \(  a_n \) liegen.

Aber für ε= P-O (Das ist größer 0.) liegt kein Folgenglied in der

der ε-Umgebung von P; denn aus P-ε < a_n < P+ε

folgt dann O < an < 2P-O also jedenfalls O < a_n im

Widerspruch zu: O ist obere Schranke für \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N} } \)   .

Also ist jede obere Schranke der Folge auch eine obere Schranke

für die Menge \( H P\left(x_{n}\right) \).

Analog für untere Schranken.

Dann musst du nur noch zeigen, dass \( \sup(H P\left(x_{n}\right)) \)

und \( \inf(H P\left(x_{n}\right)) \) in der Menge \( H P\left(x_{n}\right)\) liegen.