Definition eines Zykels, von 1. Bedingung auf 2. schließen

Question

Aufgabe:

Sei $\Gamma: G \rightarrow \mathbb{Z}$ eine Abbildung, die die 1. Bedingung in der Definition eines Zykels erfüllt. Zeige, dass dann die 2. Bedingung äquivalent dazu ist, dass

$\sum \limits_{\gamma \in G} \Gamma(\gamma)\left(h\left(\gamma\left(b_{\gamma}\right)\right)-h\left(\gamma\left(a_{\gamma}\right)\right)\right)=0$

für alle Funktionen $h: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ gilt.

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass hier eigentlich nur die Werte von h auf der endlichen Menge $A:=\bigcup_{\Gamma(\gamma) \neq 0}\left\{\gamma\left(a_{\gamma}\right), \gamma\left(b_{\gamma}\right)\right\}$ eine Rolle spielen. Wie sähe da eine Lösung aus?

Als Bedingungen für einen Zykel haben wir diese beiden Voraussetzungen:

1. Γ(ϒ)≠0 gilt nur für endlich viele ϒ∈G

2. Jeder Punkt tritt genauso oft als Anfangs wie als Endpunkt auf, mit Gewichtung gerechnet.

G ist dabei die Menge aller Wege in ℂ.

Für ϒ∈G sei ϒ:[a_ϒ,b_ϒ] →ℂ die Parametisierung.

Comments

Was ist denn ein Zykel? Geht es um Homologie?
Oder geht es um Homotopie?
Ist $G$ ein endliches kommutatives Monoid
oder einfach nur eine endliche Menge?
Was sind denn die 1. und 2. Bedingung?
Und was ist $h$ und was bedeutet $\gamma$ ?

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Entschuldige, die beiden Bedingungen und die Definitionen habe ich angehangen. Es ist unter dem Oberbegriff Nullhomologie und Nullhomotophie, aber ich denke das sollte Homologie sein.