Aufgabe:
Sei Γ : G→Z eine Abbildung, die die 1. Bedingung in der Definition eines Zykels erfüllt. Zeige, dass dann die 2. Bedingung äquivalent dazu ist, dass
γ∈G∑Γ(γ)(h(γ(bγ))−h(γ(aγ)))=0
für alle Funktionen h : C→C gilt.
Problem/Ansatz:
Ich glaube, dass hier eigentlich nur die Werte von h auf der endlichen Menge A : =⋃Γ(γ)=0{γ(aγ),γ(bγ)} eine Rolle spielen. Wie sähe da eine Lösung aus?
Als Bedingungen für einen Zykel haben wir diese beiden Voraussetzungen:
1. Γ(ϒ)≠0 gilt nur für endlich viele ϒ∈G
2. Jeder Punkt tritt genauso oft als Anfangs wie als Endpunkt auf, mit Gewichtung gerechnet.
G ist dabei die Menge aller Wege in ℂ.
Für ϒ∈G sei ϒ:[aϒ,bϒ] →ℂ die Parametisierung.