Berechne den Grenzwert mit der Regel von l‘hopital

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert mit der Regel von l‘hopital

a)  \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{x-1}} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Funktion als f(x)/g(x) ausdrücken, damit man die Regel von l‘hopital anwenden kann?

Answer 1

Aloha :)

Nutze aus, dass sich die Wirkungen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion gegenseitig aufheben, dass also \(a=e^{\ln a}\) gilt:$$\lim\limits_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim\limits_{x\to1}\exp\left(\ln\left(x^{\frac{1}{x-1}}\right)\right)=\lim\limits_{x\to1}\exp\left(\frac{1}{x-1}\cdot\ln(x)\right)=\exp\left(\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}\right)$$

Zähler und Nenner konvergieren für \(x\to1\) gegen \(0\). Nach der Krankenhausregel können wir daher zur Grenzwertbestimmung Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\phantom{\lim\limits_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}}}=\exp\left(\lim\limits_{x\to1}\frac{\frac1x}{1}\right)=\exp\left(\lim\limits_{x\to1}\frac1x\right)=\exp(1)=e$$

Answer 2

\(x^\frac{1}{x-1} = \left(\mathrm{e}^{\ln x}\right)^\frac{1}{x-1} = \mathrm{e}^\frac{{\ln x}}{x-1}\)