Geben Sie die Menge aller stetigen Funktionen f : X → R an

Question

Aufgabe:

Sei X := { \( \frac{1}{n} \) ; n ∈ N≥1} ⊆ R. Geben Sie die Menge aller stetigen Funktionen f : X → R an.


Sei X := {0}∪ { \( \frac{1}{n} \) ; n ∈ N≥1} ⊆ R. Geben Sie die Menge aller stetigen Funktionen f : X → R an.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe...

Answer 1

Die Menge kann mit der Menge aller konvergenten
reellen Folgen identifiziert werden:

\(a_n:=f(1/n)\) mit \(\lim a_n=f(0)\)

Comments

Wie meinst du?

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Sei \(\alpha=(a_n)\) eine konvergente Folge, dann definiere

\(f_{\alpha}:X\rightarrow \mathbb{R}\) durch

\(f_{\alpha}(1/n)=a_n\) für \(n=1,2,3,\cdots\) und

\(f_{\alpha}(0)=\lim_{n \to \infty}a_n\)

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Kannst du das nochmal ausführlicher erklären? Ich verstehe nicht was du meinst.

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Was verstehst du denn nicht an meiner Antwort?
Ich definiere eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen
der Menge der konvergenten reellen Folgen und der Menge
der auf \(X\cup \{0\}\)  stetigen reellen Funktionen.

Bei der Stetigkeit beziehe ich mich auf das Folgenkriterium
für Stetigkeit und da 0 der einzige Häufungspunkt von X ist,
ergibt sich das jeweilige f(0) zwangsläufig als Limes der
zugeordneten Folge und dies ist auch die einzige Bedingung,
der die Werte von f genügen müssen, da die Menge der
1/n eine diskrete Menge ist und daher auf X
jede reelle Funktion trivialerweise stetig ist.

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2Fragen noch dazu :

1.Warum ist f(0) die einzige Bedingung für die stetigen Funktion ? Das Folgenkriterium liefert nur die Stetigkeit in einem Punkt der Funktion.

2.Wie kommt man auf den Ansatz mit der umkehrbar eindeutigen Zuordnung?

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1.Warum ist f(0) die einzige Bedingung für die stetigen Funktion ? Das Folgenkriterium liefert nur die Stetigkeit in einem Punkt der Funktion.

Das ist richtig. Aber die Einschränkung \(f|X\) ist in jedem Punkt

\(x\in X\) immer stetig, egal welchen Wert die \(f(x)\) haben, da \(X\)

nur aus isolierten Punkten besteht.

Die Menge aller stetigen Funktionen auf \(X\) entspricht also

der Menge aller reellen Folgen, die Menge aller stetigen

Funktionen auf \(X\cup \{0\}\) jedoch der Menge aller

konvergenten reellen Folgen.

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Danke für deine Hilfe