Question

Ist die Ableitung von (transponiert(B)*B) = 2 mal ((transponiert(B)*Ableitung(B))

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zunächst müsste man klären, welche Art Ableitung gemeint ist. Da mit \( B \) vermutlich eine Matrix gemeint ist, muss man sich zuerst klar machen, wie die Ableitung einer Matrix erklärt ist, es sind ja verschiedene Möglichkeiten denkbar.

MfG

Mister

Answer 1

Mit B '  ist sicher die Jacobi-Matrix von B gemeint, also die Matrix der ersten partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen f₁, f₂ ,..., f_m von B.

Behauptet wird:

$${ (B }^{ T }B)'=2{ (B }^{ T }B')$$Sei also:$$B=\begin{pmatrix} { f }_{ 1 } \\ ... \\ { f }_{ m } \end{pmatrix}$$daraus ergibt sich einerseits:$${ B }^{ T }=({ f }_{ 1 },...,{ f }_{ m })\quad sowie \quad B'=\begin{pmatrix} \frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 1 } }  & ... & \frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ n } }  \\ ... & ... & ... \\ \frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ 1 } }  & ... & \frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ n } }  \end{pmatrix}$$$$\Rightarrow ({ B }^{ T }B')=\left( { f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 1 } } +...+{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ 1 } } ,...,{ f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ n } } +...+{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ n } }  \right)$$und andererseits:$${ B }^{ T }B=({ f }_{ 1 }^{ 2 }+...+{ f }_{ m }^{ 2 })$$$$\Rightarrow ({ B }^{ T }B)'=\left( 2{ f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 1 } } +...+2{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ 1 } } ,...,2{ f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ n } } +...+2{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ n } }  \right)$$$$=2\left( { f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 1 } } +...+{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ 1 } } ,...,{ f }_{ 1 }\frac { \partial { f }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ n } } +...+{ f }_{ m }\frac { \partial { f }_{ m } }{ \partial { x }_{ n } }  \right)$$$$={ 2(B }^{ T }B')$$also:$${ ({ B }^{ T }B)'=2(B }^{ T }B')$$q.e.d.