Sei das Vektorfeld F : R3→R3 F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} F : R3→R3 gegeben durch F(x,y,z) : =(y,zcos(yz)+x,ycos(yz)) F(x, y, z):=(y, z \cos (y z)+x, y \cos (y z)) F(x,y,z) : =(y,zcos(yz)+x,ycos(yz))Bestimmen Sie den Wert des KurvenintegralsI=∫γFds I=\int \limits_{\gamma} F d s I=γ∫Fdsüber einen Weg γ \gamma γ, wobei γ : ={(t,t2,π6)∣−1≤t≤2} \gamma:=\left\{\left(t, t^{2}, \frac{\pi}{6}\right) \mid-1 \leq t \leq 2\right\} γ : ={(t,t2,6π)∣−1≤t≤2}.
Aloha :)
I=∫γF⃗ ds⃗=∫−12F⃗(t) ds⃗dt dt=∫−12(t2π6cos(π6t2)+tt2cos(π6t2))(12t0)dtI=\int\limits_{\gamma}\vec F\,d\vec s=\int\limits_{-1}^2\vec F(t)\,\frac{d\vec s}{dt}\,dt=\int\limits_{-1}^2\begin{pmatrix}t^2\\[1ex]\frac\pi6\cos\left(\frac\pi6t^2\right)+t\\[1ex]t^2\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2t\\0\end{pmatrix}dtI=γ∫Fds=−1∫2F(t)dtdsdt=−1∫2⎝⎜⎜⎛t26πcos(6πt2)+tt2cos(6πt2)⎠⎟⎟⎞⎝⎛12t0⎠⎞dtI=∫−12(3t2+π62tcos(π6t2))dt=[t3+sin(π6t2)]−12\phantom{I}=\int\limits_{-1}^2\left(3t^2+\frac\pi62t\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\right)dt=\left[t^3+\sin\left(\frac\pi6t^2\right)\right]_{-1}^2I=−1∫2(3t2+6π2tcos(6πt2))dt=[t3+sin(6πt2)]−12I=(8+sin23π)−(−1+sinπ6)=8+32+1−12=17+32\phantom{I}=\left(8+\sin\frac23\pi\right)-\left(-1+\sin\frac\pi6\right)=8+\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac12=\frac{17+\sqrt3}{2}I=(8+sin32π)−(−1+sin6π)=8+23+1−21=217+3
Hallo
γ'(t) bestimmen, dann γ(t) in F einsetzen, Skalapprodukt F(t)* γ'(t)dt von -1 bis 2 berechnen.
Gruß lul
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