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Sei das Vektorfeld F : R3R3 F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} gegeben durch F(x,y,z) : =(y,zcos(yz)+x,ycos(yz)) F(x, y, z):=(y, z \cos (y z)+x, y \cos (y z))
Bestimmen Sie den Wert des Kurvenintegrals
I=γFds I=\int \limits_{\gamma} F d s
über einen Weg γ \gamma , wobei γ : ={(t,t2,π6)1t2} \gamma:=\left\{\left(t, t^{2}, \frac{\pi}{6}\right) \mid-1 \leq t \leq 2\right\} .

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Aloha :)

I=γFds=12F(t)dsdtdt=12(t2π6cos(π6t2)+tt2cos(π6t2))(12t0)dtI=\int\limits_{\gamma}\vec F\,d\vec s=\int\limits_{-1}^2\vec F(t)\,\frac{d\vec s}{dt}\,dt=\int\limits_{-1}^2\begin{pmatrix}t^2\\[1ex]\frac\pi6\cos\left(\frac\pi6t^2\right)+t\\[1ex]t^2\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2t\\0\end{pmatrix}dtI=12(3t2+π62tcos(π6t2))dt=[t3+sin(π6t2)]12\phantom{I}=\int\limits_{-1}^2\left(3t^2+\frac\pi62t\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\right)dt=\left[t^3+\sin\left(\frac\pi6t^2\right)\right]_{-1}^2I=(8+sin23π)(1+sinπ6)=8+32+112=17+32\phantom{I}=\left(8+\sin\frac23\pi\right)-\left(-1+\sin\frac\pi6\right)=8+\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac12=\frac{17+\sqrt3}{2}

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Hallo

 γ'(t) bestimmen, dann γ(t) in F einsetzen, Skalapprodukt  F(t)* γ'(t)dt von -1 bis 2 berechnen.

Gruß lul

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