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Aufgabe:

Sei D ⊂ ℝ und f : D → ℝ gleichmäßig stetig.
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie: Ist (xn) eine Cauchy-Folge in D, dann ist auch (f(xn)) eine
Cauchy-Folge.
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie: Ist D beschränkt, dann ist auch f beschränkt.
(c) (1 Punkt) Finden Sie Beispiele von Funktionen, die lediglich stetig sind und für die
die Aussagen von (a) und (b) falsch sind.


Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe bräuchte ich mal Hilfe. Hab echt keinen Plan.

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Wie habt Ihr denn gleichmäßige Stetigkeit definiert?

Wir haben gleichmäßige Stetigkeit wie folgt definiert:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D: |x-y| < δ   =>   |f(x)-f(y)| < ε

Das da oben soll kein größer-gleich, sondern ein Folgepfeil sein.

Falls es irgenwie hilft: eine Aufgabe vor dieser hier ging es um die Definition von Lipschitz-Stetigkeit. Weiß nicht, ob man die hier verwenden kann/muss, aber falls ja: so war sie definiert:

∀x,y∈D ∃L≥0:   |f(x)-f(y)| ≤ L*|x-y|

1 Antwort

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Dann sei also (xn)(x_n) eine Cauchy-Folge in D. Wir wollen zeigen, dass (f(xn))(f(x_n)) eine Cauchy-Folge in R\R ist.

Sei also ϵ>0\epsilon>0 gegeben, dazu wählen wir δ>0\delta>0 gemäß der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit und zu diesem δ\delta ein NNN \in \N mit

n,m>N : xnxm<δ (Definition von Cauchy-Folge)\forall n,m >N: \quad |x_n-x_m| < \delta \text{ (Definition von Cauchy-Folge)}

Aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit folgt

n,m>N : f(xn)f(xm)<ϵ\forall n,m >N: \quad |f(x_n)-f(x_m)| < \epsilon

Also ist (f(xn))(f(x_n)) eine Cauchy-Folge.

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