Dann sei also (xn) eine Cauchy-Folge in D. Wir wollen zeigen, dass (f(xn)) eine Cauchy-Folge in R ist.
Sei also ϵ>0 gegeben, dazu wählen wir δ>0 gemäß der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit und zu diesem δ ein N∈N mit
∀n,m>N : ∣xn−xm∣<δ (Definition von Cauchy-Folge)
Aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit folgt
∀n,m>N : ∣f(xn)−f(xm)∣<ϵ
Also ist (f(xn)) eine Cauchy-Folge.