Ich hab allerdings keinen Plan, wie ich bei den einseitigen Grenzwerten vorgehen soll?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-2}$
bei $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow \infty$ und die einseitigen Grenzwerte bei $x \uparrow 2$ und $x \downarrow 2$.

Text erkannt:

$f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-2}$
bei $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow \infty$ und die einseitigen Grenzwerte bei $x \uparrow 2$ und $x \downarrow 2$.

Problem/Ansatz:

Es soll das Konvergenzverhalten dieser Funktion untersucht werden. bei x--> minus unendlich komme ich auf das Ergebnis lim = unendlich, bei unendlich ebenso (soweit richtig?). Ich hab allerdings keinen Plan, wie ich bei den einseitigen Grenzwerten vorgehen soll?

Answer 1

Schreib zum Beispiel deine Funktion so:

$f(x) = (x^3+1)\cdot \frac 1{x-2}$

Nun nutzt du die Grenzwerteigenschaften an Polstelle (hier $x=2$).

Offenbar ist $\lim_{x\to 2}(x^3+1) = 9$.

Außerdem gilt

$\lim_{x\to2^+} \frac 1{x-2}\stackrel{x=2+h}{=}\lim_{h\to0^+}\frac 1h = \infty$

$\lim_{x\to2^-} \frac 1{x-2}\stackrel{x=2-h}{=}-\lim_{h\to0^+}\frac 1h = -\infty$

Damit folgt:

$\lim_{x\to 2^+} \left((x^3+1)\cdot \frac 1{x-2}\right) = "9\cdot\infty" = \infty$

Den Fall $x\to 2^-$ überlass ich dir zum üben.

Comments

Vielen Dank für deine Verständliche Erklärung! Lieg ich richtig, dass der lim imzweiten Fall auch unendlich ist?

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Minus unendlich! :-)

Answer 2

( x³ + 1 ) / ( x - 2 )

lim x - > 2(-)
2(-) - 2 = 0(-)
( x³ + 1 ) / 0(-)
-∞

lim x - > 2(+)
2(+) - 2 = 0(+)
( x³ + 1 ) / 0(+)
+∞