Aufgabe:
Es soll der wert des kurvenintegrals ∫K \int\limits_{K}^{} K∫ v⃗ \vec{v} vdx⃗ \vec{x} x = (2x2y2z) \begin{pmatrix} 2x\\2y\\2z \end{pmatrix} ⎝⎛2x2y2z⎠⎞
bestimmt werden
K lässt diese Parametrisierung zu; r⃗ \vec{r} r(t)= (tcos2(π−t)t2sin3tt(π−t)) \begin{pmatrix} tcos^2(π-t)\\t^2sin^3t\\\sqrt{t(π-t)} \end{pmatrix} ⎝⎛tcos2(π−t)t2sin3tt(π−t)⎠⎞ mit
0 ≤ t ≤ π
Problem/Ansatz:
Kann jemand helfen?
Meinst du v⃗=(2x2y2z)\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}v=⎝⎛2x2y2z⎠⎞?
oh entschuldige
ja, v(x)***
Ich gehe einfach mal davon aus, dass v⃗=(2x2y2z)\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}v=⎝⎛2x2y2z⎠⎞.
Damit ist v⃗=grad(x2+y2+z2)\vec v = \operatorname{grad} (x^2+y^2+z^2)v=grad(x2+y2+z2), also wegunabhängig.
Ergo
∫Kv⃗⋅dx⃗=[x2+y2+z2]r(0)r(π)=π2\int_K\vec v \cdot d\vec x = \left[x^2+y^2+z^2\right]_{r(0)}^{r(\pi)} = \pi^2∫Kv⋅dx=[x2+y2+z2]r(0)r(π)=π2
Aloha :)I=∫Kv⃗ dr⃗=∫K(2x2y2z)dr⃗=∫Kgrad(x2+y2+z2) dr⃗=∫Kgrad(r2) dr⃗I=\int\limits_K\vec v\,d\vec r=\int\limits_K\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(x^2+y^2+z^2)\,d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(r^2)\,d\vec rI=K∫vdr=K∫⎝⎛2x2y2z⎠⎞dr=K∫grad(x2+y2+z2)dr=K∫grad(r2)drI=∫K∂(r2)∂r⃗ dr⃗=∫Kd(r2)=r2(π)−r2(0)=∥(π00)∥2−∥(000)∥2=π2\phantom I=\int\limits_K\frac{\partial(r^2)}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int\limits_Kd(r^2)=r^2(\pi)-r^2(0)=\left\|\begin{pmatrix}\pi\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2-\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\pi^2I=K∫∂r∂(r2)dr=K∫d(r2)=r2(π)−r2(0)=∥∥∥∥∥∥∥⎝⎛π00⎠⎞∥∥∥∥∥∥∥2−∥∥∥∥∥∥∥⎝⎛000⎠⎞∥∥∥∥∥∥∥2=π2
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