0 Daumen
405 Aufrufe

Aufgabe:

Es soll der wert des kurvenintegrals K \int\limits_{K}^{}  v \vec{v} dx \vec{x} =  (2x2y2z) \begin{pmatrix} 2x\\2y\\2z \end{pmatrix}

bestimmt werden

K lässt diese Parametrisierung zu; r \vec{r} (t)= (tcos2(πt)t2sin3tt(πt)) \begin{pmatrix} tcos^2(π-t)\\t^2sin^3t\\\sqrt{t(π-t)} \end{pmatrix} mit

0 ≤ t ≤ π


Problem/Ansatz:

Kann jemand helfen?

Avatar von

Meinst du v=(2x2y2z)\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}?

oh entschuldige

ja, v(x)***

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich gehe einfach mal davon aus, dass v=(2x2y2z)\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}.

Damit ist v=grad(x2+y2+z2)\vec v = \operatorname{grad} (x^2+y^2+z^2), also wegunabhängig.

Ergo

Kvdx=[x2+y2+z2]r(0)r(π)=π2\int_K\vec v \cdot d\vec x = \left[x^2+y^2+z^2\right]_{r(0)}^{r(\pi)} = \pi^2

Avatar von 12 k
0 Daumen

Aloha :)I=Kvdr=K(2x2y2z)dr=Kgrad(x2+y2+z2)dr=Kgrad(r2)drI=\int\limits_K\vec v\,d\vec r=\int\limits_K\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(x^2+y^2+z^2)\,d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(r^2)\,d\vec rI=K(r2)rdr=Kd(r2)=r2(π)r2(0)=(π00)2(000)2=π2\phantom I=\int\limits_K\frac{\partial(r^2)}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int\limits_Kd(r^2)=r^2(\pi)-r^2(0)=\left\|\begin{pmatrix}\pi\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2-\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\pi^2

Avatar von 153 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen