Hölder- und Markov Ungleichung

Question

Hey, seht ihr vielleicht, wie man auf den pink eingerahmten Ausdruck kommt?

Text erkannt:

Sei $q$ der zu $p$ konjugierte Hölderexponent, d.h. es gilt $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ sowie $\frac{p}{q}=p-1$. Dann ist:
$\begin{array}{l} \mathbb{E}\left[|X| \cdot \mathbb{1}_{\{|X|>M\}}\right]^{\text {Hölder }} \leq \mathbb{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \cdot \mathbb{E}\left[\mathbb{1}_{\{|X|>M\}}^{q}\right]^{\frac{1}{q}} \\ =\mathbb{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \cdot \mathbb{P}(|X|>M)^{\frac{1}{q}} \\ \left.\stackrel{\text { Markov }}{\leq} \mathbb{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \cdot \frac{\mathbb{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}}{M^{\frac{p}{q}}} \quad \mathbf{( 0 . 5 P}\right) \\ =\mathbb{E}\left[|X|^{p}\right] \cdot\left(\frac{1}{M}\right)^{p-1} \mid \\ \end{array}$

Answer 1

Hallo,

eigentlich passiert da nicht viel:

$\mathbb{E} [|X|^p]^{\frac1p} \cdot \frac{\mathbb{E} [|X|^p]^{\frac1q}}{M^{\frac{p}{q}}} = \mathbb{E} [|X|^p]^{\frac1p} \cdot \mathbb{E} [|X|^p]^{\frac1q} \cdot \frac{1}{M^{\frac{p}{q}}} = \mathbb{E} [|X|^p]^{\frac1p+\frac1q} \cdot \frac{1}{M^{p-1}} = \mathbb{E} [|X|^p] \cdot \left(\frac{1}{M}\right)^{p-1}$, da $\frac{p}{q} = p-1$ und $\frac1p + \frac1q = 1$

Comments

Vielen lieben Dank:)