Aufgabe:
Beweise für x, y ∈ \( \mathbb{R} \), x, y > 0, und a, b ∈ \( \mathbb{Q} \):
1) \( x < y, x^{a} < y^{a} \), falls a > 0
2) Es gilt \( x^{a}* x^{b} = x^{a+b}. \)
Dabei darf ich nur die Wurzel- und Potenzgesetzte mit natürliche Wurzeln und natürliche Exponenten verwenden sowie die Monotonie.
Bei der ersten Aufgabe weiß ich noch nicht so recht wie ich da ran gehen soll.
Bei zwei habe ich versucht den Bruch der rationalen Zahl zu erweitern und diese dann zusammen zu führen, jedoch komme ich immer für a:= \( \frac{w}{q} \), b:=\( \frac{e}{r} \) auf: \( \sqrt[qr]{x^{wr}*x^{qe}} \), wobei wr und qe Element der ganzen Zahlen sind. Wie kann ich denn jetzt weiter machen? Habe noch folgende Defintion:
\(a^{n}=\frac{1}{a^{-n}} für n\in \mathbb{Z}\text{ ohne }\mathbb{N}_{0}\)
Damit würde ich wieder eine natürliche Zahl erhalten, jedoch im Bruch, muss ich damit weiter arbeiten? Zudem müsste ich dann ja noch Fallunterscheidungen durchführen, da wr und qe potenziell auch natürliche Zahlen seien könnten. Geht das ganze irgenwie einfacher?
Vielen Dank für jegliche Rückmeldung
