0 Daumen
268 Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe.

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{5^{n}+1}\) Für welches z ∈ ℂ konvergiert die Reihe?


Problem/Ansatz:

Wie gehe ich weiter vor, falls mein Ergebnis bis jetzt überhaupt richtig ist.

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{5^{n}+1}  \quad a_{n+1}=\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}+1} \)
\( \frac{z^{n+1}\left(5^{n}+1\right)}{z^{n}\left(5^{n+1}+1\right)}=\frac{5^{n} z+z}{5^{n+1}+1}=\frac{5^{n}\left(z+\frac{z}{5^{n}}\right)}{5^{n}\left(5+\frac{n}{5^{n}}\right)} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{z+\frac{z}{5^{n}}}{5+\frac{1}{5^{n}}}=\frac{z+0}{5+0}=\frac{z}{5} \)
\( \frac{z}{5}<1 \Rightarrow z<5 \)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Du musst hier immer den Betrag von z betrachten,

also Konvergenzradius 5.

Jetzt musst du noch schauen was auf dem Rand des Konvergenzkreises

los ist, also für |z|=5.

Avatar von 287 k 🚀

Also z = -5 und z = 5? Muss ich das jetzt einfach in die Reihe einsetzen und nochmal das Quotientenkriterium anwenden?

Das ist ja für z∈ℂ. Da gibt es ja noch mehr Möglichkeiten.

Aber ich meine für |z|=5 ist | \(\frac{z^{n}}{5^{n}+1}\) | keine

Nullfolge und da kann die Reihe nicht konvergieren.

Und wie mache ich jetzt weiter? Ich blicke da jetzt nicht mehr durch

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community