Aufgabe:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe.
\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{5^{n}+1}\) Für welches z ∈ ℂ konvergiert die Reihe?
Problem/Ansatz:
Wie gehe ich weiter vor, falls mein Ergebnis bis jetzt überhaupt richtig ist.
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{5^{n}+1} \quad a_{n+1}=\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}+1} \)
\( \frac{z^{n+1}\left(5^{n}+1\right)}{z^{n}\left(5^{n+1}+1\right)}=\frac{5^{n} z+z}{5^{n+1}+1}=\frac{5^{n}\left(z+\frac{z}{5^{n}}\right)}{5^{n}\left(5+\frac{n}{5^{n}}\right)} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{z+\frac{z}{5^{n}}}{5+\frac{1}{5^{n}}}=\frac{z+0}{5+0}=\frac{z}{5} \)
\( \frac{z}{5}<1 \Rightarrow z<5 \)
