Kann es passieren, dass die Einträge der Matrix A-1 alle ganze Zahlen sind?

Question

Aufgabe:

1. Sei $A=\left(a_{i j}\right)$ eine $n \times n$ Matrix mit $a_{i j} \in \mathbb{Z}$ und $\operatorname{det}(A) \in\{1,-1\}$ Zeigen Sie, dass die Einträge von $A^{-1}=\left(b_{i j}\right)$ auch ganze Zahlen sind.
2. Sei $A=\left(a_{i j}\right)$ eine $n \times n$ Matrix mit $a_{i j} \in \mathbb{Z}$ und $\operatorname{det}(A)=2$. Kann es passieren, dass die Einträge der Matrix $A^{-1}$ alle ganze Zahlen sind? Geben Sie entweder ein Beispiel an, oder begründen Sie warum das nicht möglich ist.

Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Grundsätzlich:

Die Determinante einer Matrix ist die Summe von Produkten von Einträgen der Matrix. Daher sind Determinanten von Matrizen mit ganzzahligen Einträgen auch wieder ganzzahlig.

(1)

Die Inverse einer Matrix kann mit Hilfe der Adjunktenformel berechnet werden:

$$A^{-1} = \frac 1{\det A}\operatorname{adj} (A)$$

Die Einträge von $\operatorname{adj} (A)$ sind Unterdeterminanten von $A$ und sind somit ganzzahlig. Wenn $\det A =\pm 1$ ist, dann sind also die Einträge von $A^{-1}$ ganzzahlig.

(2)

$\det A = 2 \Rightarrow \det A^{-1}=\frac 12$.

Die Einträge von $A^{-1}$ können nicht alle ganzzahlig sein, da sonst auch $\det A^{-1}$ als Summe von Produkten ganzer Zahlen wieder ganzzahlig wäre.