Basen und Diagonalmatrix

Question

Aufgabe 3 1. Bestimmen Sie für die \( 5 \times 5 \)-Matrix
\( A_{5}=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)
mit möglichst wenig Rechenaufwand eine Basis von \( \operatorname{ker}\left(A_{5}\right) \).

2. Finden Sie einen Vektor \( \mathbf{v}_{5} \in \mathbb{R}^{5} \) mit \( A_{5} \mathbf{v}_{5}=c \cdot \mathbf{v}_{5} \) für ein \( c \neq 0 \).

3. Geben Sie eine Basis \( \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{5} \) von \( \mathbb{R}^{5} \) an, so dass
eine Diagonalmatrix ist, d.h. \( d_{i, j}=0 \) falls \( i \neq j \).

4. Bestimmen Sie
\( \underline{\mathbf{v}} \operatorname{Mat}_{\underline{\mathbf{v}}}\left(A_{5}-t E_{5}\right)={ }_{\mathbf{v}} \operatorname{Mat}_{\underline{\mathbf{v}}}\left(\left(\begin{array}{ccccc} 1-t & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-t & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1-t & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-t & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1-t \end{array}\right)\right) \)

und \( \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right) \)

5. Für welche Werte von \( t \) hat das Gleichungssystem \( A_{5} \mathbf{v}= \) tv eine Lösung \( \mathbf{v} \neq 0 \) ?

Kann mir jemand helfen die Aufgabenbereiche 3-5 zu lösen?

Comments

Hallo

bei 3 fehlt was nach dass??

und  in 4 was bedeutet _vMat_v

5)  hast du schon in 2 ein t gefunden

Gruß lul  

Answer 1

Fang mal besser mit 4 an.

\( \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right) = -t^4 \cdot(t-5) \)

und in 5 sind dann die Lösungen (Eigenwerte) von

\( \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right) = -t^4 \cdot(t-5) = 0 \)

gesucht, also 0 und 5.

Dann ist eine Basis von Eigenvektoren z.B.

\(  \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Die ersten sind zum Eigenwert 0 und der letzte zu 5, also ist die

in 3 gesuchte Matrix (Das ist wohl die bzgl. der Basis aus Eigenvektoren)

\( \left(\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \)