Zeigen Sie, dass die Relation eine Aquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \). Zwei Matrizen \( A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) \) heißen zueinander ähnlich, falls es eine invertierbare Matrix \( S \in M_{n}(\mathbb{R}) \) gibt, so dass

\( B=S^{-1} A S \)

1. Zeigen Sie, dass die Relation

\( R=\left\{(A, B) \in M_{n}(\mathbb{R}) \times M_{n}(\mathbb{R}) \mid A\right. \) und \( B \) sind zueinander ähnlich \( \} \)

eine Äquivalenzrelation ist.

2. Seien \( A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) \) zueinander ähnlich. Zeigen Sie, dass

\( \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B) \)

Answer 1

Hallo :-)

Zu 1.) Ich mach mal die Reflexivität vor:

Sei \(A\in Mat_n(\R)\) beliebig. Wähle \(S=I_n\in Mat_n(\R)\) als Einheitsmatrix. Dises ist invertierbar. Und es gilt \(A=I_n\cdot A\cdot I_n= S^{-1}\cdot A\cdot S\). Also ist \(A\) zu sich selbst ähnlich.

Zu 2.) Da\(A,B\in Mat_n(\R)\) zueinander ähnlich sind, gibt es eine invertierbare Matrix \(S\in Mat_n(\R)\) mit \(A=S^{-1} \cdot B\cdot S\).

Jetzt einfach in die Determinante einsetzen und die Determinantenmultiplikationsregel benutzen... Fertig.