Die Beschränktheit dieser folge ist zu untersuchen

Question

Text erkannt:

$\begin{array}{l} \text { HACLO. DI/ ANGABE LAVT } \sigma T: b_{n}=\cos \left(n \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot\left(2-\frac{n-2}{n^{2}}\right) \\ \text { DIE BESCHRÄNKTHEIT: WURDE "BERECHNET": } \\ \left|b_{n}\right|=\left|\cos \left(n \frac{\pi}{2}\right)\left(2-\frac{n-2}{n^{2}}\right)\right|=\left|\cos \left(n \frac{\pi}{2}\right)\left(2-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}\right)\right| \mid \leqslant \\ \leq 2-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}} \leqslant 2+\max \cdot\left(\frac{2}{n^{2}}\right)-\max \cdot\left(\frac{1}{n}\right)=\quad\left|\cos \left(n \frac{\pi}{2}\right)\right| \leqslant 1 \\ =2+2-1=3 \\ \rightarrow\left|b_{n}\right| \leq 3 \quad \text { (bn IST DURCH - } 3 \text { NACH UNTEN UND DURCH } 3 \\ \text { NACH OBEN BESCHRÄNKT) } \\ \end{array}$
WEITERS STEHT IN DER LÖSUNG: "ANSTATT DER $2+\frac{2}{n^{2}}-\frac{1}{n}$ $\geq 0$ - ABSCH ATZUNG, KANN MAN DIE DREIECKSUNGLEICHUNG $|x \pm y| \leq|X|+|y| B E N U T Z E N$ UND ERHZ̈LT ALS SCHRANKEC=5 WENDE ICH DIE S-UNGLEICHUNG AN ERYALTE ICH POLGENDES:
$\left|b_{n}\right|=\left|\cos \left(n \frac{\pi}{2}\right)\left(2-\frac{n-2}{n^{2}}\right)\right| \leq\left|2-\frac{n-2}{n^{2}}\right| \leq|2|-\left|\frac{n-2}{n^{2}}\right|=2-\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}}\right|$
UND DAS IST FALSCH.
BZW. WENDE ICH ANDIESER STELLE (GRUNE NARKENUNG):
NOCM EINMAL DIE $\triangle$-UNGLEICHUNG AN:
$2-\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}}\right| \leq 2-\left(\left|\frac{1}{n}\right|-\left|\frac{2}{n^{2}}\right|\right)=2-\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}}\right)=2-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}$
UND DIESES ERGEBNIS IST DOCH GENAU DAS GLEICHE WIE
BEI DER 1. MÖGLICUKEIT. WAS MACHE ICH FACSCH?

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

…

Comments

Falsch ist: $\left\lvert2-\frac{n-2}{n^2}\right\rvert\le\lvert2\rvert-\left\lvert\frac{n-2}{n^2}\right\rvert$. Richtig ist: $\left\lvert2-\frac{n-2}{n^2}\right\rvert\le\lvert2\rvert+\left\lvert\frac{n-2}{n^2}\right\rvert$.
Den gleichen Fehler hast du später noch einmal gemacht.
Weiter geht's mit $\lvert2\rvert+\left\lvert\frac{n-2}{n^2}\right\rvert\le2+\frac1n+\frac2{n^2}\le5$.

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Vielen Dank !

Answer 1

die Dreiecksungleichung geht mit Summen: |a+b|<=|a|+|b|

du verwendest Differenzen das gilt aber nicht allgemein .

lul