Zeigen Sie das (an)n≥2 echt steigend ist

Question

Aufgabe:

Sei $f(x)=x^{2} -x+1$. Wir definieren eine Folge $(a_{n})_{n\ge 1}$ durch den Initialfall $a_{1}=2$ und die Rekurrenz $$a_{n+1} = f(a_{n})\quad \text{für} \space n \in\mathbb{N}\backslash 0$$

1. Zeigen Sie das $(a_{n})_{n \ge 2}$ echt steigend ist

Wir führen $\displaystyle b_{n}=\prod\limits_{k=1}^{n} a_{k}^{1/a_{k}}$ ein und $\displaystyle c_{n}=\frac{\ln(a_{n})}{a_{n}}$ ein

2. Folgern Sie für $n\gt 3$  dass $\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \le \frac{2a_{n}}{(a_{n}-1)^2} \le \frac{7}{18}$

2Folgern Sie für n≥3 \( \frac{c_n+1}{c_n} \) ≤\( \frac{2a_n}{(a_n-1)^2} \)≤7/18

Problem/Ansatz:

Also klar man kann a1 in f(an) einsetzten usw, aber irgendwie habe ich das Gefühl hier fehlen Informationen. Villeicht kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Zu 1) Der Graph der Folge besteht aus ganzzahligen Punkten auf dem Graphen einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(1/2|3/4) rechts vom Scheitelpunkt. Die Folge steigt überall - nicht erst ab a₂

Answer 2

Natürlich fehlt in der Aufgabe etwas, aber erst später. Dort wird ein bn definiert, aber ich sehe keine Verwendung.

Warum denkst du, dass etwas fehlt. Du kannst doch mal die ersten Werte von an ausrechnen.

Eigentlich langt es doch, wenn Du zeigst, dass f(x) > x für alle x >= 2 gilt, oder?

Comments

Habe ich jetzt richtig gerechnet?

a₁  =2

a₂=3

a₃=7

und a₄=43?

Dann kann doch Induktion kommen

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Du brauchst keine Induktion machen. Für welche x gilt

x² - x + 1 > x

Also für welche x ist f(x) größer als der eingesetzte Wert x.