Aloha :)
Bei solchen fummeligen Rechnungen hilft mir immer, sauberes Aufschreiben:$$h(x)=\frac{\overbrace{\red{6x^3}}^{=u}}{\underbrace{\green{x^4+x^2+2}}_{=v}}$$Darauf lassen wir nun die Quotientenregel los:$$h'(x)=\frac{\overbrace{\red{18x^2}}^{=u'}\cdot\overbrace{(\green{x^4+x^2+2})}^{=v}-\overbrace{\red{6x^3}}^{=u}\cdot\overbrace{(\green{4x^3+2x})}^{=v'}}{\underbrace{(\green{x^4+x^2+2})^2}_{=v^2}}$$Nun rechnen wir die beiden Produkte im Zähler aus:$$h'(x)=\frac{(18x^6+18x^4+36x^2)-(24x^6+12x^4)}{(x^4+x^2+2)^2}=\frac{-6x^6+6x^4+36x^2}{(x^4+x^2+2)^2}$$Im Zähler erkennen wir sofort den gemeinsamen Faktor \((-6x^2)\):$$h'(x)=\frac{-6x^2\cdot(x^4-x^2-6)}{(x^4+x^2+2)^2}$$Das Minuszeichen haben wir mit aus der Klammer gezogen, damit die höchste Potenz des Polynoms in der Klammer ein positives Vorzeichen hat: \((x^4-x^2-6)\). Wenn wir nämlich nun 2 Zahlen finden, deren Summe \((-1)\) [die Zahl vor dem \(x^2\)] und deren Produkt \((-6)\) [die Zahl ohne \(x\)] ist, können wir die Klammer im Zähler weiter faktorisieren. Die beiden Zahlen \((-3)\) und \(2\) leisten dies. Daher gilt:$$(x^4-x^2-6)=(x^2-3)\cdot(x^2+2)$$Im Nenner müssten wir für denselben Trick 2 Zahlen finden, deren Summe \(1\) und deren Produkt \(2\) ist. Die gibt es aber nicht, daher lassen wir den Nenner so stehen. Bleibt als Ergebnis:$$h'(x)=\frac{-6x^2\cdot(x^2-3)\cdot(x^2+2)}{(x^4+x^2+2)^2}$$
