Ableiten eines Bruchs

Question

Wie kommt man hier auf die folgende Ableitung? Wenn ich die Quotienten-Regel anwende, kommt bei mir etwas anderes heraus … Und warum ist der Bruch negativ?

Text erkannt:

c)
$\begin{array}{l} n(x)=\frac{6 x^{3}}{x^{4}+x^{2}+2}>0 \quad \begin{array}{l} \text { Quotienten-Regel } \\ \frac{u^{2} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^{2}} \end{array} \\ x=0 \\ x=\sqrt{3} \\ x=-\sqrt{3} \\ \end{array}$

Answer 1

$h(x)= \frac{6x^3}{x^4+x^2+2}$

$h´(x)= \frac{18x^2*(x^4+x^2+2)-6x^3*(4x^3+2x)}{(x^4+x^2+2)^2}= \frac{18x^6+18x^4+36x^2-24x^6-12x^4}{(x^4+x^2+2)^2}= \frac{-6x^6+6x^4+36x^2}{(x^4+x^2+2)^2}$

Answer 2

Hallo,

Ableitung mit der Quotientenregel:

$u=6x^3\quad v=x^4+x^2+2\\ u'=18x^2\quad v'=4x^3+2x$

Dann steht im Nenner

$18x^2\cdot (x^4+x^2+2)-6x^3\cdot (4x^3+2x)\quad \text{ausmultiplizieren}\\ =18x^6+18x^4+36x^2-24x^6-12x^4\quad \text{zusammenfassen}\\ =-6x^6+12x^4+36x^2\quad -6x^2\text{ ausklammern}\\ =-6x^2(x^4-2x^2-6)\quad \text{Klammer faktorisieren}\\ =-6x^2(x^2+2)(x^2-3)$

Gruß, Silvia

Comments

Meine Merkregel dazu lautet:

Zähler oben, Nenner unten.

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Autsch! Die Regel kenne ich.

Answer 3

https://www.ableitungsrechner.net/

Im Zähler kommt eine Differenz vor, die macht ihn wohl negativ nach dem Zusammenfassen.

Answer 4

Das niedergeschriebene Ergebnis für die erste Ableitung ist richtig. Vielleicht hast du noch nicht umgeformt (faktorisiert)?

Was da negativ oder positiv sein soll, muss sich doch auf die zweite Ableitung an den Stellen ±√3 beziehen. Wo ist denn deine zweite Ableitung?

Answer 5

Aloha :)

Bei solchen fummeligen Rechnungen hilft mir immer, sauberes Aufschreiben:$$h(x)=\frac{\overbrace{\red{6x^3}}^{=u}}{\underbrace{\green{x^4+x^2+2}}_{=v}}$$Darauf lassen wir nun die Quotientenregel los:$$h'(x)=\frac{\overbrace{\red{18x^2}}^{=u'}\cdot\overbrace{(\green{x^4+x^2+2})}^{=v}-\overbrace{\red{6x^3}}^{=u}\cdot\overbrace{(\green{4x^3+2x})}^{=v'}}{\underbrace{(\green{x^4+x^2+2})^2}_{=v^2}}$$Nun rechnen wir die beiden Produkte im Zähler aus:$$h'(x)=\frac{(18x^6+18x^4+36x^2)-(24x^6+12x^4)}{(x^4+x^2+2)^2}=\frac{-6x^6+6x^4+36x^2}{(x^4+x^2+2)^2}$$Im Zähler erkennen wir sofort den gemeinsamen Faktor $(-6x^2)$:$$h'(x)=\frac{-6x^2\cdot(x^4-x^2-6)}{(x^4+x^2+2)^2}$$Das Minuszeichen haben wir mit aus der Klammer gezogen, damit die höchste Potenz des Polynoms in der Klammer ein positives Vorzeichen hat: $(x^4-x^2-6)$. Wenn wir nämlich nun 2 Zahlen finden, deren Summe $(-1)$ [die Zahl vor dem $x^2$] und deren Produkt $(-6)$ [die Zahl ohne $x$] ist, können wir die Klammer im Zähler weiter faktorisieren. Die beiden Zahlen $(-3)$ und $2$ leisten dies. Daher gilt:$$(x^4-x^2-6)=(x^2-3)\cdot(x^2+2)$$Im Nenner müssten wir für denselben Trick 2 Zahlen finden, deren Summe $1$ und deren Produkt $2$ ist. Die gibt es aber nicht, daher lassen wir den Nenner so stehen. Bleibt als Ergebnis:$$h'(x)=\frac{-6x^2\cdot(x^2-3)\cdot(x^2+2)}{(x^4+x^2+2)^2}$$