Zeige dim im f + dim im h ≥dim im f+h

Question

Aufgabe:

Ich habe V und W als K-VR und f,h sind Homomorphismen von V nach W. W ist endlich dimensional.

Zeige dim im f + dim im h ≥dim im f+h.

Kann mir hier jemand weiterhelfen bzw hat einen Ansatz?

Ich habe mir ein paar Dinge überlegt, jedoch immer nur wenn V auch endlich ist. Aber in diesem Fall muss es ja auch gelten wenn V unendlich ist. Denn mithilfe der Dimensionsformel geht es ja nicht…

Answer 1

im(f+h)={w∈W| ∃x∈V (f+h)(x)=w }  Def. von f+h gibt

         ={w∈W| ∃x∈V f(x)+h(x)=w }

==>  Für jedes w∈W existieren also u∈Im(f) und v∈Im(h) mit w=u+v

Sind nun \(  a_1,\dots,a_n  \) und \(  b_1,\dots,b_m \) Basen von

Im(f) bzw. Im(h), also insbesondere auch Erz.systeme, dann

kann man u als Lin.komb der \(  a_1,\dots,a_n \) und

v als Lin.komb. der   \(  b_1,\dots,b_m \) darstellen, und damit

w als Linerkomb. der   \(  a_1,\dots,a_n , b_1,\dots,b_m \).

Also bildet \(  a_1,\dots,a_n , b_1,\dots,b_m \) ein Erz.sytem für im(f+h)

und somit ist dessen dim kleiner oder gleich n+m.

Answer 2

Es gilt

\(v \in V \Rightarrow (f+h)(v) = f(v) + h(v) \in (\operatorname{im} f + \operatorname{im} h) \)

\(\Rightarrow \operatorname{im}(f+h) \subseteq (\operatorname{im} f + \operatorname{im} h)\)

\(\stackrel{\dim W = n}{\Rightarrow} \dim \operatorname{im}(f+h) \leq \dim (\operatorname{im} f + \operatorname{im} h) \leq \dim \operatorname{im} f + \dim \operatorname{im} h\)

Die letzte Ungleichung gilt aufgrund der Dimensionsformel für die Summe endlichdimensionaler Unterräume:

\(\dim(U_1+U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)\)