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Aufgabe:

Seien U und W endlich erzeugte Untervektorräume eines Vektorraums V mit U ⊆ W und U ungleich W. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind
(a) dim W = dim U + 1
(b) Ist H ein Untervektorraum von V mit U ⊆ H ⊆ W, so ist H = U oder H = W.


Problem/Ansatz:

Hallo erstmal!

Leider verstehe ich die oben genannte Aufgabe kaum...

Mir fehlt leider der Ansatz, da ich nicht weiß wie ich diese Ausagen verknüpfen kann.

Mir ist bewusst wie ich eine Dimension bestimme und das wenn ich einen endlich erzeugten Verktorraum habe, U ein Erzeugendensystem von V ist, und das kleines Erzeugendensystem dann die Basis von V ist, aber ich weiß leider nicht ob ich was mit dieses Aussagen anfangen kann, daher wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand einen Ansatzt geben könnte, damit ich diese Aufgabe lösen kann.

Liebe Grüße

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vermutlich hattet ihr sowas wie:

Jedes lin. unabhängige System von Vektoren aus V lässt sich zu

einer Basis ergänzen. und auch:

Hat ein Unterraum von W die gleiche Dimension wie W,

dann ist er auch gleich W.

Dann kannst du so argumentieren: Seien W, U und V wie beschrieben

und sei     dim W = 1 + dim U  und sei H ein Untervektorraum

von V mit   U   ⊆ H   ⊆ W .

Sei v1,...,vn  eine Basis von U, dann sind v1,...,vn

auch linear unabhängig in H.

Somit bilden v1,...,vn  entweder schon eine Basis von H,

dann wäre dim H = dim U und damit H=U.

Oder v1,...,vn lassen sich zu einer Basis von H

ergänzen. Diese Basis besteht aber nun aus

Vektoren, die wegen H   ⊆ W auch in W linear

unabhängig sind, also wegen dim W = n+1 nicht

mehr als n+1 sein können. Somit sind es genau

n+1 und damit ist das auch eine Basis von W.

Somit H=W.

Sei umgekehrt bekannt: Ist H ein Untervektorraum von

 V mit U ⊆ H ⊆ W, so ist H = U oder H = W.

Dann gilt:  Sei v1,...,vn  eine Basis von U.

Wegen U ⊆  W sind  v1,...,vn auch lin.

unabhängig in W und weil lt. Vor.

U ungleich W ist, ist v1,...,vn  keine Basis von W.

Lässt sich aber zu einer Basis von W ergänzen.

Wenn man nur einen der zu ergänzenden Vektoren

zu v1,...,vn  hinzufügt , erhält man n+1 linear

unabhängige Vektoren, die somit Basis eines

Unterraumes H sind, für den gilt U ⊆ H ⊆ W.

Damit ist H=W  ( denn H=U kann nicht sein, da

dim H > dim U ) .  Also gilt dim W = 1+dim U

da durch Hinzunahme eines Vektors aus einer

Basis von U eine von W wurde.    q.e.d.

Avatar von 287 k 🚀

Vielen lieben

Warst mir eine große Hilfe.

LG

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