Wohldefiniertheit einer Abbildung

Question

Sei U ⊆ V ein Untervektorraum des K-Vektorraums V und F:V→W eine lineare Abbildung. Wir betrachten die Äquivalenzrelation v∼v′ ⇔ es gibt ein u∈U mit v′=v+u auf V und bezeichnen mit V/∼ die Menge der Äquivalenzklassen.

Zeigen Sie, dass die Abbildung

G: V/∼ → W
[v] → G([v]) := F (v)

genau dann wohldefiniert ist, wenn U ⊆ Ker(F ) gilt.

Answer 1

Du musst also zeigen, dass G([v]) von der Wahl des

Vertreters v aus der Klasse [v] unabhängig ist,

bzw. dass für zwei verschiedene Vertreter a,b aus [v]

das gleiche Bild entsteht, also F(a)=F(b) ist.

Seien a,b aus [v] zwei solche Vertreter,

also a~b ==>    a = b+u mit u∈U. #

Wenn U⊆Kern(F) gilt, folgt F(u)=0.

Wegen # gilt F(a)=F(b+u)

wegen der Linearität F(a)=F(b)+F(u)=F(b)+0=F(b). q.e.d.