Bestimmen Sie \lim t → ∞ f(t) und \lim t →-∞ f(t)

Question

Aufgabe:

Die Funktion $f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0$ beschreibt die durchschnittliche Anzahl von Smartphones in Haushalten. Der Parameter $t$ stellt dabei die Zeit dar.
a) Ermitteln Sie den Wert für $a$ für den zum Zeitpunkt $t=1$ die Funktion den Wert 1,5 annimmt.
b) Bestimmen Sie $\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t)$ und $\lim \limits_{t \rightarrow-\infty} f(t)$
c) Zu welchem Zeitpunkt $t$ erreicht die Funktion $90 \%$ des maximal möglichen Wertes?

Problem/Ansatz:

Ich stehe vor dieser aufgabe und weiss wenn ich ehrlich bin gar nicht wie ich anfangen soll oder wie ich rechnen soll. Könnte mir jemand helfen bitte :) ?

Answer 1

$f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0$ und f(t)=1,5

==>  $\frac{2}{1+e^{-a \cdot 1}} = 1,5$

==>  $2 = 1,5 (1+e^{-a })$

==>  $2 = 1,5 + 1,5 e^{-a }$

==>  $0,5 = 1,5 e^{-a }$

==>  $\frac{1}{3} = e^{-a }$

==>  $ln (\frac{1}{3}) = -a$

==>   a=ln(3)≈1,099

$\lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t) = 2$  denn $e^{ -at}$ geht gegen 0.

$\lim \limits_{t \rightarrow-\infty} f(t) = 0$

90% von 2 sind 1,8. Damit hast du

$\frac{2}{1+e^{-a \cdot t}} = 1,8$

==>  $2 = 1,8 (1+e^{-at })$

==>  $2 = 1,8 + 1,8 e^{-at }$

==>  $0,2 = 1,8 e^{-at }$

==>  $\frac{1}{9} = e^{-at }$

==>     $ln(\frac{1}{9}) = -at$

==>    $ln(9) = at$  ==>     $t = \frac{ln(9)}{a}$

Answer 2

$f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0$

a) Ermitteln Sie den Wert für $a$ für den zum Zeitpunkt $t=1$ die Funktion den Wert 1,5 annimmt.

$f(1)=\frac{2}{1+e^{-a *1}} =1,5 |*(1+e^{-a *1})$

$2 =1,5*(1+e^{-a *1})$

$\frac{4}{3}=1+e^{-a }$

$\frac{1}{3}=\frac{1}{e^{a }}$

$e^{a }=3$

$a*ln(e)=ln(3 )$       $ln(e)=1$

$a=ln(3 )$

Oder:

$e^{a }=3$

$e^{a }=e^{ln(3) }$

$a=ln(3 )$