Aloha :)
Da dir noch niemand eine vernünftige Antwort gegeben hat, probiere ich es mal...
Deine Idee mit dem Integral ist richtig, denn ein Zahlungsstrom beschreibt den Geldfluss pro Zeiteinheit. Wir rechnen aus, welche Geldmenge \(G(T)\) nach der Zeit \(T\) bei dem Zahlungsstrom$$Z(t)=(5+2t+3e^{\frac{t}{1000}})\cdot e^{-\frac{t}{20}}=5e^{-\frac{t}{20}}+2te^{-\frac{t}{20}}+3e^{\frac{t}{1000}-\frac{t}{20}}$$$$\phantom{Z(t)}=5e^{-\frac{t}{20}}+2te^{-\frac{t}{20}}+3e^{-\frac{49t}{1000}}$$insgesamt geflossen ist. Diese können wir mit folgendem Integral formulieren:$$G(t)=\int\limits_0^TZ(t)\,dt=\int\limits_0^T5\cdot e^{-\frac{t}{20}}dt+\int\limits_0^T\underbrace{2t}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-\frac{t}{20}}}_{=v'}dt+\int\limits_0^T3e^{-\frac{49t}{1000}}dt$$
Wir berechnen die drei Integrale einzeln. Beim mittleren Integral verwenden wird dafür die Methode der partiellen Integration:$$I_1=\left[5\,\frac{e^{-\frac{t}{20}}}{-\frac{t}{20}}\right]_0^T=\left[-100e^{-\frac{t}{20}}\right]_0^T=-100e^{-\frac{T}{20}}+100=100\cdot\left(1-e^{-\frac{T}{20}}\right)$$$$I_2=\left[\underbrace{2t}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-\frac{t}{20}}}{-\frac{1}{20}}}_{=v}\right]_0^T-\int\limits_0^T\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-\frac{t}{20}}}{-\frac{1}{20}}}_{=v}dt=\left[-40te^{-\frac{t}{20}}\right]_0^T+\int\limits_0^T40e^{-\frac{t}{20}}dt$$$$\phantom{I_2}=\left[-40te^{-\frac{t}{20}}\right]_0^T+\left[40\,\frac{e^{-\frac{t}{20}}}{-\frac{1}{20}}\right]_0^T=\left[-40te^{-\frac{t}{20}}\right]_0^T+\left[-800e^{-\frac{t}{20}}\right]_0^T$$$$\phantom{I_2}=-40Te^{-\frac{T}{20}}-800e^{-\frac{T}{20}}+800=800\left(1-e^{-\frac{T}{20}}\right)-40Te^{-\frac{T}{20}}$$$$I_3=\left[3\,\frac{e^{-\frac{49t}{1000}}}{-\frac{49}{1000}}\right]_0^T=\left[-\frac{1000}{49}e^{-\frac{49t}{1000}}\right]_0^T=-\frac{1000}{49}e^{-\frac{49T}{1000}}+\frac{1000}{49}=\frac{1000}{49}\left(1-e^{-\frac{49T}{1000}}\right)$$Als Geldfluss erhalten wir:$$G(T)=100\left(1-e^{-\frac{T}{20}}\right)+800\left(1-e^{-\frac{T}{20}}\right)-40Te^{-\frac{T}{20}}+\frac{1000}{49}\left(1-e^{-\frac{49T}{1000}}\right)$$$$G(T)=900-(900+40T)\cdot e^{-\frac{T}{20}}+\frac{1000}{49}\left(1-e^{-\frac{49T}{1000}}\right)$$
