Kurvendiskussion: f(x) = ln(x)/x^2

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Werte als Nullstelle, Extrempunkt und Wendepunkt berechnet und nun soll ich ohne Taschenrechner diese Punkte in einen Graphen (Skizze) zeichnen. Jedoch bin ich etwas unsicher, wie genau ich die Werte einzeichnen soll.

Folgende Funktionen + Ableitungen waren gegeben:$$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \\f'(x) = \frac{1-2\ln(x)}{x^3} \\f''(x) = \frac{6\ln(x)-5}{x^4} $$

Als Nullstelle habe ich (1/0),

als Extrempunkt (e^\( \frac{1}{2} \)/\( \frac{1}{2} \)/e)

und als Wendepunkt (e^0,833/\( \frac{0,833}{e^0,6939} \)).

Der Extrempunkt stellt ein lokales Maximum dar.

Des Weiteren ist folgender Definitionsbereich ℝ>0 gegeben.

Das Verhalten für x → ∞ ist bei f(x) = 0 (anhand von l'hospital) und für x → 0 ist bi f(x) = ∞.

Vielleicht kann jemand mit diesen ganzen Werten etwas anfangen und mir erklären, wie ich die ganzen e-Funktionen ohne Taschenrechner in einen Graphen einzeichnen kann. Danke ☺ 

Answer 1

Hallo,

die Kurve sieht so aus:

Nun ist die Frage, wie du auf diesen Verlauf kommen kannst.

Die Nullstelle ist klar.

Das Extremum liegt bei x=√e≈√(2,71828).

e liegt zwischen 2,56=1,6² und 2,89=1,7².

√e liegt also zwischen 1,6 und 1,7.

0,5/e≈0,5/2,7≈0,5/2,5=0,2

Da 2,7>2,5 gilt, ist 0,5/e<0,2.

Wenn du weißt, dass 27•37=999 ist, kannst du auch so rechnen:

0,5/2,7=(5•37)/(27•37)=185/999≈0,185

--> E(1,65|0,185)

Das stimmt erstaunlich gut mit dem genauen Wert überein.

Die Wendestelle muss zwischen 1,65 und 2,7 liegen, da e^{0,5}<e^{0,833}<e^1 gilt.

:-)

Answer 2

Hallo

erst mal für x gegen 0 geht f(x) gegen -oo. für x->oo geht f(x) gegen 0

Wenn du dann noch das Max und die Nullstelle einzeichnest, das muss nicht so genau sein, mit e etwa 2,7 und e^0,5=1,6 ist das gut genug danach geht es flach gegen 0, die Steigung an der Nullstelle ist auch leicht zu berechnen, Niemand verlangt von dir was genaueres. Wenn du es noch schöner wiss  zeichne noch die Steigung  und Wert  bei x=e ein  mit e^2 etwa 7

Gruß lul