Wie kann man das schnell feststellen?

Question

Aufgabe: Injetkiv, bijektiv, surjektiv

Problem/Ansatz: f : (-pi/2, pi/2) → R:f(x) = sin(x)

Wie kann man das schnell feststellen ?

gibt es ein Tipp dafür?

Comments

Steht da als Zielmenge wirklich $\mathbb R$ ?

Sinnvoll wäre die Aufgabe mit der Zielmenge $(-1;1)$.

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ja da steht wirklich R

Answer 1

Die Sinusfunktion liefert nur Werte aus dem Intervall $\left[-1;+1\right]$. Die angegebene Funktion $f$ ist also sicher nicht surjektiv, also auch nicht injektiv.

Comments

Die Sinusfunktion liefert nur Werte aus dem Intervall $\left[-1;+1\right]$. Die angegebene Funktion $f$ ist also sicher nicht surjektiv, also auch nicht injektiv.

Statt injektiv muss es natürlich bijektiv heißen.

Answer 2

Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis lesen.

Answer 3

Die Funktion ist in $(-\pi /2,\pi/2)$ streng monoton wachsend,

also injektiv.

Answer 4

Wenn ich das richtig verstehe ist die Funktion f: (-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$) → ℝ, x ↦ sin(x) gegeben.

Man könnte die Eigenschaften wie folgt feststellen (wenn es falsch ist korrigiert mich bitte):

Es seien beliebige x₁,x₂∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$) mit x₁≠x₂ . Man nehme an es gilt f(x₁)=f(x₂). Also sin(x₁)=sin(x₂) und somit x₁=arcsin(sin(x₂)) und folglich auch x₁=x₂. Also folgt aus der Annahme ein Widerspruch mit der Voraussetzung, weshalb sie falsch war und es gilt f(x₁)≠f(x₂). Weil x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂) ist f injektiv.

Es existiert mindestens ein y∈ℝ für welches mit jedem beliebigen x∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$) y≠f(x) gilt. Evident ist der größte Wert, den die Sinusfunktion annimmt 1 und der kleinste -1, demnach gibt es genügend reelle Zahlen sodass gilt f((-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$))≠ℝ, damit ist f nicht surjektiv.

Da f nicht surjektiv ist, ist f nicht bijektiv.

Comments

Du meinst wohl eher:

da f nicht surjektiv ist, ist f nicht bijektiv.

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Ja richtig, danke, ich habe es schnell korrigiert.

Answer 5

Aloha :)

Wir untersuchen den Patienten:$$f\colon\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)\to\mathbb R\,,\,f(x)=\sin(x)$$

zu 1) Surjektivität

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da die Sinus-Funtion nur Werte aus dem Intervall $[-1;1]$ liefert, wird z.B. das Element $2$ aus der Zielmenge $\mathbb R$ nicht getroffen. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

zu 2) Injektivität

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Die Funktion $f(x)$ ist über ihrem gesamten Definitionsbereich $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ differenzierbar und die Ableitung ist stets positiv:$$f'(x)=\cos(x)>0\quad\text{für }x\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$$Daher ist $f(x)$ stetig und streng monoton wachsend, sodass kein Element der Zielmenge mehr als 1-mal getroffen wird. Die Funktion ist also injektiv.

zu 3) Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird, d.h. wenn die Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Das die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie also auch nicht bijektiv.