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Sei V V ein R \mathbb{R} -Vektorraum, und seien u,v,wV u, v, w \in V drei Vektoren, für die das Tripel (u,v,w) (u, v, w) linear unabhängig ist. Zeigen Sie, dass dann auch das Tripel (u+v,uv,u2v+w) (u+v, u-v, u-2 v+w) linear unabhängig ist.

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Seien a,b,cRa,b,c\in\R mit a(u+v)+b(uv)+c(u2v+w)=0a(u+v)+b(u-v)+c(u-2v+w)=0.
Umsortieren liefert (a+b+c)u+(ab2c)v+cw=0(a+b+c)u+(a-b-2c)v+cw=0.
Da nach Voraussetzung die Vektoren u,v,wu,v,w linear unabhängig sind, gilt dann(1)a+b+c=0(2)ab2c=0(3)c=0.\quad\begin{aligned}(1)&&a+b+c&=0\\(2)&&a-b-2c&=0\\(3)&&c&=0.\end{aligned}Das ist ein lineares Gleichungssystem für a,b,ca,b,c, das wie man leicht nachrechnet nur
die triviale Lösung hat, d.h. es ist a=b=c=0a=b=c=0, woraus die Behauptung folgt.

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Danke für die Antwort. Ich verstehe nicht ganz, wie du auf das Umsortieren gekommen bist, also warum dann z.B. a - b - 2c da steht usw.

a(u+v)+b(uv)+c(u2v+w)=0.\large a(u+v)+b(u-v)+c(u-2v+w)=0.Ausmultiplizieren:au+av+bubv+cu2cv+cw=0.\large\red{au}+\blue{av}+\red{bu}-\blue{bv}+\red{cu}-\blue{2cv}+\green{cw}=0.Nach u,v,wu,v,w sortieren:(a+b+c)u+(ab2c)v+cw=0.\large\red{(a+b+c)}u+\blue{(a-b-2c)}v+\green cw=0.Schließe daraus, dass a=b=c=0a=b=c=0 sein muss.

Achso stimmt, doch relativ simpel. Vielen Dank für die Hilfe :)

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