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En = K0 • qn +  $$ \frac { r\quad (q\^ n\quad -\quad 1) }{ (q-1) } $$

 

Wie kann ich diese Formel nach n umformen ?

 

Die Aufgabe lautet:

Ein Mann möchte ein Haus im Wert von 195.000 € kaufen. Zur Finanzierung schließt er einen Bausparvertrag über den zuzahlenden Betrag ab. Der Vater zahlt 60.000 € sofort ein, anschließend jeweils 5.500 € am Jahresende. Das Guthaben wird mit 4,9% verzinst.

Wann hätte der Mann unter obigen Voraussetzungen die benötigten 195.000 € angespart ?

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E = r * (q^n - 1) / (q - 1)

E * (q - 1) = r * (q^n - 1)

E * (q - 1) / r = q^n - 1

E * (q - 1) / r + 1 = q^n

n = LN(E * (q - 1) / r + 1) / LN(q)

Schau mal ob das so stimmt.
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$$ \begin{align} E_n&=K_0\cdot q^n+r\frac{q^n-1}{q-1}&&\|\cdot{(q-1)}\\E_n \cdot (q-1)&=K_0\cdot q^n(q-1)+r \cdot (q^n-1) &&\| \\E_n \cdot (q-1)&=K_0\cdot q^n(q-1)+r \cdot q^n-r &&\|+r \\E_n \cdot (q-1)+r&=q^n \cdot(K_0\cdot (q-1)+r) &&\|:(K_0\cdot (q-1)+r) \\\frac{E_n \cdot (q-1)+r}{K_0\cdot (q-1)+r}&=q^n &&\|Log\\Log\left(\frac{E_n \cdot (q-1)+r}{K_0\cdot (q-1)+r} \right) &=n \cdot Log(q) && \|:Log(q)\\\frac{Log\left(\frac{E_n \cdot (q-1)+r}{K_0\cdot (q-1)+r} \right)}{Log(q)} &=n \end{align} $$

Dein Beispiel mit \( E_n=195000,K_0=60000,r=5500,q=1.049 \) ergibt \(n=12.0978\).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=195000%3D60000*1.049%5En%2B5500*%281.049%5En-1%29%2F0.049
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