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Aufgabe:

Gegeben sei die geordnete Basis B:= ( (23) \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} (44) \begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix} ) ⊂ ℤ25 und A:= (4322) \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}  ∈ ℤ2x25.

Sei C die Standardbasis des ℤ25 und f: ℤ25 →  ℤ25, f(x) = Ax. Berechnen Sie die darstellende Matrix AfB,C von f zur Eigangsbasis B und Ausgangsbasis C.

Die 5en bedeuten in einem 5-Körper. Heisst: Es existieren nur die Zahlen 0-4.


Problem/Ansatz:

Habe die darstellende Matrix (2301) \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} berechnet.

Meine Frage ist jetzt, ob und insbesondere wie ich kontrollieren kann, ob das richtig ist?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!!

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Du hast richtig gerechnet.

Eine Möglichkeit einer Probe ist, die Matrix AfC,CA_f^{C,C} aus AfB,CA_f^{B,C} zu rekonstruieren:

IB,C=(2434)IC,B=IB,C1=(4)1(4342)T=(4432)I_{B,C}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \Rightarrow I_{C,B}= I_{B,C}^{-1}= (-4)^{-1}\begin{pmatrix}4 &-3 \\ -4 & 2\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}4 &-4 \\ -3 & 2\end{pmatrix}

Nun rechne

AfC,C=AfB,CIC,B=(2301)(4432)=(1232)=Z5(4322)A_f^{C,C} = A_f^{B,C}I_{C,B}= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 &-4 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 &-2 \\ -3 & 2\end{pmatrix} \stackrel{\mathbb Z_5}{=}\begin{pmatrix}4 &3 \\ 2 & 2\end{pmatrix}

Also alles schick.

Avatar von 12 k

Vielen Dank!

Wie genau kommst Du bei dem ersten Teil der Rechnung von (2434) \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} auf (4432) \begin{pmatrix} 4 & -4 \\- 3 & 2 \end{pmatrix} ?

Also was bedeutet IC,B = I-1C,B?

1. Frage:

Ich benutze die Adjunktenformel für die Inverse und benutze, dass in Z5\mathbb Z_5 gilt:

 detIB,C=4=1(Z5)\det I_{B,C} = -4 = 1 \: ( \mathbb Z_5).

2. Frage:
IB,CI_{B,C} ist die Matrixdartellung der identischen Abbildung mit der "Eingangsbasis" BB und der "Ausgangsbasis" CC.

IC,B=IB,C1I_{C,B} = I_{B,C}^{-1} ist dann die Matrixdarstellung der identischen Abbildung mit der "Eingangsbasis" CC und der "Ausgangsbasis" BB.

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Ich k0mme auch auf (2301) \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Denn in den Spalten müssen doch (wegen C = Standardbasis)

die Bilder der Basisvektoren von B stehen.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen Dank, aber wie kann ich dies am besten kontrollieren?

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