Extremwertaufgaben lösen, wie berechne ich die unten Stehende Aufgabe

Question

Aufgabe:

Es sei der Graph einer ganzrationalen Funktion f(X) zweiten Grades, die für alle x € R mit -3 ≤ x ≤3 definiert ist, gegeben.
a) Geben Sie die Gleichung der Funktion f(x) an.
b) Der Koordinatenursprung und der Punkt P (x / f(X) im 1.Quadranten sind Punkte eines achsenparallelen Rechtecks.
Skizzierem Sie das Rechteck rechts in die Abbildung ein.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P für den der Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal wird.

Problem/Ansatz:

Ich brauche dringend Hilfe bei diesen Aufgaben

Comments

rechts in die Abbildung...

Abbildung fehlt.

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Punkt P ist danzwar schon eingezeichnet , aber ich will trotzdem wissen wie man da drauf kommt

Answer 1

Hallo,

die Nullstellen sind bei -3 und 3 und der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S (0|3).

Also ist $f(x)=a(x-3)(x+3)$. Um a zu bestimmen, setze die Koordinaten von S ein.

Damit ist $f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)(x+3)\\ =-\frac{1}{3}x^2+3$

Flächeninhalt eines Rechtecks ist $A=a\cdot b$.

a = x und b = f(x)

Damit lautet die Gleichung für den Flächeninhalt

$A=x\cdot(-\frac{1}{3}x^2+3)=-\frac{1}{3}x^3+3x$

Bilde davon die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach x auf.

$A'=-x^2+3\\ -x^2+3=0\\ x^2=3\\x=\sqrt{3}$

$x=- \sqrt{3}$ fällt weg, das sich das Rechteck im 1. Quadranten befinden soll.

Gruß, Silvia

Comments

Guten Abend. Deine Antwort hat mich darauf hingewiesen, dass ich in meiner Antwort ein "Minus" vor dem Funktionsterm vergessen habe... :-(

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Bis ich die Zeichnung gesehen hatte, sah mein Funktionsterm auch anders aus. ;-)

Answer 2

Es sei der Graph einer ganzrationalen Funktion f(x) zweiten Grades, die für alle x € R mit -3 ≤ x ≤3 definiert ist, gegeben.
a) Geben Sie die Gleichung der Funktion f(x) an.

Okay, gemäß der Grafik sind der Ordinatenabschnitt y=3  und die Nullstellen x=-3 sowie x=+3 der quadratischen Funktion fest. Das sieht nach $$f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot \left(x^2-3^2\right)$$ aus.

Answer 3

a) Geben Sie die Gleichung der Funktion f(x) an

$N_1(-3|0)$   $N_2(3|0)$  $S(0|3)$

$f(x)=a*x^2+3$

$f(3)=a*3^2+3=0$     $9a=-3$       $a=-\frac{1}{3}$

$f(x)=-\frac{1}{3}*x^2+3$

b) Der Koordinatenursprung und der Punkt $P (x | f(x)$ im 1.Quadranten sind Punkte eines achsenparallelen Rechtecks.

$A(x)=x*f(x)$ soll maximal werden.

$A(x)=x*(-\frac{1}{3}*x^2+3)=-\frac{1}{3}x^3+3x$

$A´(x)=-x^2+3$

$-x^2+3=0$    $x_1=-\sqrt{3}$ liegt nicht im 1. Quadranten      $x_2=\sqrt{3}$

$f(\sqrt{3})=-\frac{1}{3}*3+3=2$