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Hey,

wie kann ich ausrechnen, wie viele Zahlen im Bereich zwischen 1 und 999 die Zahl 9 als Quersumme haben?

Ich wäre dankbar für ein paar Denkanstöße.
Gefragt von

Kann bei dir die Quersumme grösser gleich 10 sein oder nicht? Als Beispiel: Gilt für 999 27  oder 9 als Quersumme (--> 9+9+9=27=2+7=9) ? 

es geht hoch bis 27, also q(n) = a+b+cb

4 Antworten

+1 Punkt
Es gibt genau 55 solche Zahlen.

Wenn h die Hunderterziffer ist, dann gibt es jeweils genau 10-h Möglichkeiten:

Die Summe soll 9 ergeben, also wählt man erstmal die 100er Ziffer als h. Jetzt bleiben für die Zehnerziffer noch genau 9-(h-1)=10-h Möglichkeiten übrig, denn die Zehnerziffer muss zwischen 0 und 9-(h-1) liegen, damit es noch möglich ist, eine 9 zu erhalten. Wäht man z.B. h=4, dann gibt es für die Zehnerziffer noch die Möglichkeiten 1, 2, 3, 4, 5. Bei allen höheren Zahlen ist keine 9 als Quersumme mehr möglich.

Da man für h zwischen 0 und 9 wählen kann, müssen also insgesamt die folgenden Zahlen aufsummiert werden:

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 10+(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+5 = 55
Beantwortet von 10 k
+1 Punkt
Die Quersumme soll 9 sein. Und sie soll dabei auf 3 Summanden aufgeteilt werden.

D.h. wir stellen uns 9 Steinchen vor und 2 Trenner.

324 = * * * | * * | * * * *

Die Frage ist viele Möglichkeiten gibt es die 9 Steinchen und die 2 Trenner hinzulegen.

Da es 11 Zeichen sind gibt es 11! Möglichkeiten sie hinzulegen. Da wir die Steinchen nicht unterscheiden können müssen wir durch 9! teilen. Da wir auch die Trenner nicht unterteilen können müssen wir nochmals durch 2! teilen.

11!/(9! * 2!) = 55

oder auch (3 + 9 - 1 über 9) = (11 über 9) = 55
Beantwortet von 264 k
Cooler Ansatz ;) Könntest du das nochmal näher erklären mit "Steinchen nicht unterscheiden können"?
Stell dir nur vor, du hast 9 nicht voneinanderbar unterscheidbare Steine. Normalerweise könntest Du die Steinchen mit 9! Möglichkeiten anordnen. Nun kannst Du sie aber ja leider nicht unterscheiden. Also musst du durch die Anzahl Anordnungen teilen.

Aber der Ansatz ist nicht so neu. Den hat Lu auch schon benutzt:

https://www.mathelounge.de/9753/verteilung-piratenkapitane-beraten-anschaffung-ausrustung.
0 Daumen

Also von 1 bis 99 gibt es 9 Zahlen, die die Quersumme 9 haben, denn an der Stelle 1 sei eine Zahl 9-x und an der Stelle 2 x mit x < 9. Das gibt dann 9, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18 = 9 Zahlen zwischen 1 und 99 mit der Quersumme 9.

Beantwortet von 4,3 k
Ich tippe mal auf 27 bei 1-999 ;)
Ich meinte 10 Zahlen wischen 1 bis 99. die 90 zählt natürlich auch noch
mein Programm sagt 55 von 1 bis 999

 

        Dim x, y, z, n As Integer

        For x = 0 To 9
            For y = 0 To 9
                For z = 0 To 9
                    Dim sum As Integer = x + y + z
                    If sum = 9 Then
                        n += 1
                    End If

                Next
            Next
        Next
        MsgBox(n)
0 Daumen

Für die ersten 100 Zahlen bin ich teilweise mit Thilo87 einverstanden, also mal 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 und 90. Hier fällt auf, dass es alles Zahlen der 9er-Reihe sind (Dies sind mal 10). Sie sind auch immer symmetrisch.

Und nun weiter zu den Zahlen zwischen 100 und 200: Hier nimmt man die Zahlen der ersten 100 Möglichkeiten (die oben), hängt eine 1 vorne hin und zieht diese 1 entweder bei den Zehnern oder Einern ab. 
Dies gibt die Zahlen 108 , 108, 117, 117, 126, 126, 135, 135, 144, 144, 153, 153, 162, 162, 171, 171, 180, 180. Dies sind nochmals 18 Möglichkeiten, jedoch alle doppelt, also total 9 Möglichkeiten.

Wir versuchen noch dasselbe für die Zahlen zwischen 200 und 300: 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270. Das sind 8 Möglichkeiten

Weiter geht es mit den Zahlen zwischen 300 und 400: 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360. Nun sind es gerade noch 7 Möglichkeiten.

Und nun kommt die Vermutung, dass es für jedes hundert das wir dazunehmen, 1 Möglichkeit weniger wird. Schlussendlich sind es also 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55 Möglichkeiten sind.

Zur Kontrolle schreibe ich die anderen auch noch auf:

 

400<>500500<>600600<>700700<>800
405504603702
414513612711
423522621720
432531630 
441540  
450   
6 Möglichkeiten5 Möglichkeiten4 Möglichkeiten3 Möglichkeiten
800<>900900<>1000
801900
810 
2 Möglichkeiten1 Möglichkeit

Wie man sieht, hat sich die Vermutung bestätigt und total sind es 55 Möglichkeiten (-->10+9+8+...=10(10+1)/2=55)

 

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es nun.

Simon

Beantwortet von 4,0 k

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