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Ich habe das noch nicht wirklich mit dem bestimmen von Konvergenzbereichen verstanden. Kann mir das jemand an der folgenden Aufgabe erklären?

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( x + 1 ) ^ { n } } { n · 4 ^ { n - 1 } } $$

Mir ist klar, dass ich mit der Gleichung:

$$ r = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left| \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } \right| $$

irgendwie den Konvergenzradius berechnen kann. Kann mir jemand einzelne Schritte bis zum Ergebnis aufzeigen?

Das Ergebnis lautet -5 < x < 3.

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Das an ist alles, was keine Potenz in x involviert, das ist in diesem Fall also:

$$ \left. \begin{array} { l } { a _ { n } = \frac { 1 } { n · 4 ^ { n - 1 } } } \\ { a _ { n + 1 } = \frac { 1 } { ( n + 1 ) · 4 ^ { n } } } \\ { = > \left| \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } \right| = \frac { 4 ^ { n } · ( n + 1 ) } { 4 ^ { n - 1 } · n } } \\ { = \frac { 4 ^ { n } } { 4 ^ { n - 1 } } \frac { n + 1 } { n } } \\ { = 4 · \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) } \end{array} \right. $$

Bildet man jetzt den Grenzwert für n->unendlich, so bleibt

r = 4

Das Zentrum der Potenzreihe ist die -1, also konvergiert die Reihe im Bereich zwischen -1-4=-5 und -1+4=3.

Beantwortet von 10 k

Sehr schön und sauber erklärt :)

Für den Leser könnte man vielleicht noch ergänzen, weshalb das Zentrum der Potenzreihe die -1 ist.

Super. Klasse. Vielen Dank. Jetzt hab ich das auch endlich richtig verstanden. Dann will ich mal weiter üben.

Mir ist das mit der -1 klar. Aber ich beschäftige mich da auch schon eine ganze Weile mit. ;-)

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