Stammfunktion durch Formansatz bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe eines Formansatzes eine Stammfunktion von f.

$f(x)= 2x*e^{0,5x}$

Ansatz: $F(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)$

Für a=4 und b=-8

Stammfunktion: $e^{0,5x}\cdot(2x-2)$

Leider stimmt die Ableitung nicht mit f(x) überein.

Über eine Lösung würde ich mich freuen, danke!

Answer 1

$F(x)=\left(ax+b\right)e^{0,5x}$

Bestimme $F'(x)$.

Bestimme $a$ und $b$ so, dass $F'=f$ ist.

Comments

$F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)$

Für a=4 und b=-8

Ist die Ableitung so richtig?

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Die Lösung stimmt:

Zur Kontrolle:

http://www.zeno.org/Georges-1913/A/optio?hl=optio

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Wenn ich a und b einsetze, komme ich auf die Stammfunktion:

$e^{0,5x}\cdot(2x-2)$

Wenn ich diese Funktion aber ableite, komme ich irgendwie nicht auf

$f(x)= 2x*e^{0,5x}$

sondern

$f(x)=e^{0,5x}\cdot(x-1)$

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Wenn du einsetzt, kommst du auf (4x-8)*e^(0,5x) als Stammfkt.

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$F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)$

Die Ableitung ist richtig.

Für a=4 und b=-8

Dann ist $F'=f$.

Wenn ich a und b einsetze, komme ich auf die Stammfunktion:

$e^{0,5x}\cdot(2x-2)$

Wenn ich $a=4$ und $b=-8$ in $F(x)=\left(ax+b\right)e^{0,5x}$ einsetze, komme ich auf die Stammfunktion

        $F(x) = \left(4x-8\right)e^{0,5x}$.

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Jetzt sehe ich meinen Fehler.

Ich habe a und b in

$F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)$ eingesetzt statt in die Stammfunktion.

Vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

F '(x)=$\frac{a}{2}$·e^0,5x+$\frac{e^{0,5x}}{4}$·(ax+2a+b)

Hier sieht man, dass a=8 sein muss. Setzt man a=8 ein und formt etwas um, dann erhält man 2x·e^0,5x+$\frac{e^{0,5x}}{4}$·(b+32). Der zweite Summand ist für b=-32 genau Null.