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Aufgabe: Die Punkte \(P_1(t| \frac{5}{9}t^2 \) ), \(P_2( \sqrt{6}•t |0)\), \(P_3( -\sqrt{6}•t |0)\) liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion.


Problem/Ansatz:

f(x)=ax^2+bx+c



Kann mir bitte jemand helfen :(

Avatar von

Ist \( P_1=(t\;|\;\frac59t^2)\) ?

Ja, richtig! :)

Davon darfst du mMn ausgehen. Es wird so sehr oft geschrieben ohne Klammer.

Liegen die Punkte \(P_{2,3}\) bei \(P_{2,3} = (\pm\sqrt{6t}|\,0)\) oder bei \(P_{2,3}=(\pm\sqrt{6}\, t|\,0)\)? Ich vermute letzteres - oder?

4 Antworten

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Aufgabe: Die Punkte \(P_1( t |\frac{5}{9}t^2)\), \(P_2( \sqrt{6t} |0)\), \(P_3(- \sqrt{6t} |0)\)liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion.

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

\(P_1( t |\frac{5}{9}t^2)\)

\(f(t)=a•(t)^2+b•(t)+c=\frac{5}{9}t^2\)


\(P_2( \sqrt{6t} |0)\)

\(f( \sqrt{6t})=a•( \sqrt{6t})^2+b•(\sqrt{6t})+c=0\)


\(P_3(- \sqrt{6t} |0)\)

\(f(- \sqrt{6t})=a•( -\sqrt{6t})^2+b•(-\sqrt{6t})+c=0\)

Löse nun das Gleichungssystem

Avatar von 36 k

Weg über die Nullstellenform der quadratischen Parabel:

Das t ist nicht unter der Wurzel:

\(f(x)=a*(x-\sqrt{6}*t)*(x+\sqrt{6}*t)=a*(x^2-6t^2)\)

\(P_1( t |\frac{5}{9}t^2)\)

\(f(t)=a*(t^2-6t^2)=-5at^2\)

\(-5at^2=\frac{5}{9}t^2\)

\(a=-\frac{1}{9}\)

\(f(x)=-\frac{1}{9}*(x^2-6t^2)\)



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Setze die 3 Punkte in f(x) ein und erhalte 3 Gleichungen für 3 Unbekannte.

1. a*t^2+b*t+c = (5/9)*t^2

2. ...

3. ...

a, b, c wird in Abhängigkeit von t ausgedrückt.

Lass dich dadurch nicht verwirren.

Avatar von 35 k
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Aloha :)

Von der gesuchten quadratischen Funktion \(f(x)\) kennst du bereits zwei Nullsellen, nämlich:$$N_1(\sqrt{6t}|0)\quad\text{und}\quad N_2(-\sqrt{6t}|0)$$

Daher wissen wir schon sehr genau, wie sie aussehen muss:$$f(x)=a\cdot\left(x-\sqrt{6t}\right)\cdot\left(x+\sqrt{6t}\right)\quad;\quad a=\text{const}$$

Die erste Klammer wird Null für \(x=\sqrt{6t}\) und die zweite für \(x=-\sqrt{6t}\).

Die beiden Klammern können wir mit der dritten binomischen Formel zusammenfassen:$$f(x)=a\cdot(x^2-6t)\quad;\quad a\in\mathbb R^{\ne0}=\text{const}$$

Für den Fall \((t=0)\) gibt es keine eindeutige Funktionsgleichung, denn alle 3 gegebenen Punkte sind mit \((0|0)\) identisch, sodass jede Parabel mit Scheitelpunkt \((0|0)\) die Bedingungen erfüllt:$$\pink{f(x)=a\cdot x^2\quad\text{mit }a\in\mathbb R^{\ne0}\quad\text{für }t=0}$$

Für den Fall \(t\ne0\) erhalten wir die Konstante \(a\) durch Einsetzen der Koordinaten von \(P_1(t\big|\frac59t^2)\):$$\frac59t^2=f(t)=a\cdot(t^2-6t)\stackrel{\div t}{\implies}\frac59t=a(t-6)\implies a=\frac{5t}{9(t-6)}$$

Für den Fall \(t=6\) ist keine Konstante \(a\) definiert, d.h. für diesen Fall gibt es keine quadratische Funktion, bei der alle 3 Punkte auf dem Graphen liegen.$$\pink{f(x)=\text{nicht definiert}\quad\text{für } t=6}$$

Für alle anderen \(t\in\mathbb R\) gilt jedoch:$$\pink{f(x)=\frac{5t}{9(t-6)}(x^2-6t)\quad;\quad t\ne0\;\land\;t\ne6}$$

Avatar von 148 k 🚀
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Die Nullsstellen sind bekannt, also haben wir

$$p_t(x) = a(x-\sqrt{6t})(x+\sqrt{6t})=a(x^2-6t)$$

Für den Punkt \(P_1\) muss gelten:

$$p_t(t) = a(t^2-6t) = at(t-6) \stackrel{!}{=}\frac 59 t^2$$

So haben wir:
\(t=0 \Rightarrow p_0(x) = ax^2\) für beliebiges \(a\neq 0\)

\(t=6 \Rightarrow a\cdot 0 = \frac 59 t^2 \Rightarrow\) keine Lösung (keine Parabel)

\(t\neq0, t\neq 6 \Rightarrow a=\frac 59\cdot \frac t{t-6} \Rightarrow p_t(x) = \frac {5t}{9(t-6)}(x^2-6t)\)

Avatar von 10 k

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