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Aufgabe:

Gegeben sei limxx2+sin(x)x2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}}

a. Untersuchen Sie ob der Grenzwert dieser Funktion existiert und bestimmen Sie ihn gegebenenfalls.

b. Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis:

limxx2+sin(x)x2(, l’Hoˆpital )limx2x+cos(x)2x(, l’Hoˆpital )limx2sin(x)2\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}}\left(\frac{\infty}{\infty} \text {, l'Hôpital }\right) \\\\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\cos (x)}{2 x}\left(\frac{\infty}{\infty}, \text { l'Hôpital }\right) \\\\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\sin (x)}{2} \end{array}


limx2sin(x)2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2-\sin (x)}{2} und folglich limxx2+sin(x)x2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+\sin (x)}{x^{2}} besitzen keinen Grenzwert.


Problem/Ansatz:

Aufgabe a ging sehr flott. Wenn man x2 heraushebt, dann kann man kürzen und der Grenzwert ist 1. Mein Problem ist bei Aufgabe b. Ich verstehe nicht, warum man da nicht de l'Hospital anwenden darf. Ich hätte mir gedacht, dass es vielleicht am Sinus liegt, da dieser keinen Grenzwert hat, aber da ja x2 gegen unendlich läuft ist das ja egal oder? Könntet ihr mir einen Hinweis geben?

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2 Antworten

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Die Regeln von l'Hospital haben grundsätzlich die Struktur: Wenn limf(x)/g(x) \lim f'(x)/g'(x) existiert, dann ex auch limf(x)/g(x)\lim f(x)/g(x) und beide sind gleich. Wenn limf(x)/g(x) \lim f'(x)/g'(x) nicht existiert, machen die Regeln keine Aussage.

Der letzte Grenzwert in der Aufgabenstellung existiert nicht, weil die sin-Funktion oszilliert.

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Die Regel lautet

lim (x --> ∞) f(x) / g(x) = lim (x → ∞) f'(x) / g'(x),

sofern der jeweilige Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Existiert also kein Grenzwert auf der rechten Seite macht l'Hospital keine Aussage.

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