Berechne die bestimmten Integrale, mit Nebenrechnungen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die bestimmten Integrale.

a)   \(\displaystyle \int \limits_{1}^{3}(3 x+1)^{2} \; d x \)

b)   \(\displaystyle \int \limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{5}}+\frac{1}{x^{4}}\right) d x \)

Problem/Ansatz:

Wir haben in der Schule nur unbestimmt behandelt.

Könnt ihr mir das erklären?, bitte.

Danke:)

Answer 1

Hallo,

a) \( \int \limits_{1}^{3}(3 x+1)^{2} d x \)

Bestimme zunächst die Stammfunktion und setze dann die Integralgrenzen ein.

\( \begin{aligned} & F(x)=3 x^{3}+3 x^{2}+x \\ & \int \limits_{1}^{3}(3 x+1)^{2} d x \\ = & \left|\left[3 x^{3}+3 x^{2}+x\right]_{1}^{3}\right| \\ = & |81+27+3-(3+3+1)| \\ = & 104\end{aligned} \)

Bei b) gehst du genauso vor. Die Stammfunktion lautet \(\displaystyle F(x)=-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{3x^3}\) und die Fläche des Integrals beträgt 0,53 FE.

Gruß, Silvia

Comments

die Fläche des Integrals

Das ist Quatsch.

Answer 2

Verwende:

a)

(3x+1)^2 = 9x^2+6x+1

b) 1/x^5 = x^-5

1/x^4 = x^-4

Answer 3

\( \int\limits_{1}^{3}(3x+1)^2 dx \) Berechnung mit Substitution und Anpassung der Integralgrenzen

\(u=3x+1 \)    →    \( x=\frac{1}{3}u-\frac{1}{3} \)   →    \(\frac{dx}{du}=\frac{1}{3} \) →  \(dx=\frac{1}{3}du \)

neue obere Grenze:   \( 3=\frac{1}{3}u-\frac{1}{3} \) →  \( u=10 \)

neue untere Grenze:   \( 1=\frac{1}{3}u-\frac{1}{3} \) →  \( u=4 \)

\( \int\limits_{4}^{10} \frac{u^2}{3}du=[ \frac{u^3}{9} ]_{4}^{10}=\frac{1000}{9}-\frac{64}{9}=\frac{936}{9}\)

Das bestimmte Integral ist 104

Comments

Der Hinweis auf den Flächeninhalt sollte begründet oder entfernt werden.