Zeigen Sie rechnerisch, dass der Inhalt 4 FE ist.

Question

Aufgabe: g(x)=x³-3x.

Die Tangente im Hochpunkt des Graphen der Funktion g sowie die Normale durch den Tiefpunkt von g und der Graph der Funktion g begrenzen eine Fläche.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Inhalt 4 FE ist.

Problem/Ansatz:

Ich muss hier ja zuerst die Tangente im Hochpunkt und die Normale im Tiefpunkt berechnen. Wie mache ich das?

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Lass uns zuerst die Aufgabenstellung analysieren...

Gegeben ist die Funktion:$$g(x)=x^3-3x$$

Von dieser benötigen wir die Hoch- und Tiefpunkte:$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$$$$f''(x)=6x$$Die Nullstellen der ersten Ableitung sind $x=\pm1$. Wegen $f''(1)=6>0$ und $f''(-1)=-6<0$ liegt bei $x=1$ ein Minimum und bei $x=-1$ ein Maximum vor:$$T(1|-2)\quad;\quad H(-1|2)$$

Da es sich bei bei Hochpunkt und Tiefpunkt um Extremwerte handelt, ist die Steigung der Funktion an diesen beiden Punkte jeweils Null. Die Tangenten verlaufen daher parallel zur $x$-Achse und die Normalen parallel zur $y$-Achse.

Tangente an den Hochpunkt: $y=2$$\quad;\quad$Normale an den Tiefpunkt: $x=1$.

Es geht also um die Fläche zwischen der roten, grünen und blauen Linie:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x³-3x)·(x>=-1)·(x<=1)f₂(x) = 2x = 1Zoom: x(-2…2) y(-3…3)

Man sieht schon mit bloßem Auge, dass diese Fläche gleich $4$ ist, denn links von der y-Achse ist die Fläche oberhalb der blauen Kurve genauso groß wie die Fläche, die rechts von der y-Achse unterhalb der blauen Kurve von dem Rechteck abgenschnitten wird.

Mit der Integralrechnung bekommen wir immer die Flächen zwischen der $x$-Achse und dem Graphen. Daher ist die gesuchte Fläche rein rechnerisch:$$F=\underbrace{2-\left|\int\limits_{-1}^0g(x)\,dx\right|}_{\text{links der y-Achse}}+\underbrace{2+\left|\int\limits_0^1g(x)\,dx\right|}_{\text{rechts der y-Achse}}=2+2=4$$Da die Funktion $g(x)$ punktsymmetrisch zum Urpsrung ist, sind die beiden Integrale betragsmäßig gleich groß und heben sich gegenseitig weg.

Answer 2

- Hochpunkt bestimmen

- gibt y = 2

Die Tangente ist eine Parallele zur x-Achse bei y = 2

Tiefpunkt bestimmen:

x = 1

Die Normale ist eine Parallele zur y-Achse bei x = 1

Weiter so:

Du hast mit den beiden Geraden ein Rechteck mit FE = 2 * 4 = 8

Da die Funktion das Rechteck symmetrisch teilt, ist die gesuchte Fläche halb so groß.

Answer 3

Tiefpunkt:

f '(x) =0

3x²-3 = 0

x² = 1

x= +-1

f ''(x) = 6x

f''(1) = 6 = Tiefpunkt

Tangente:

t(x) = (x+1)*f '(-1)+f(-1) = ...

Normale:

n(x) = (x-1)* (-1)/f '(1) +f(1) = ...

Comments

Eine Zwickmühle ist "Entweder mache ich jetzt sofort schon einen Fehler oder ich muss gleich durch 0 teilen".

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@ggT: Meinst du das wirklich:

Tangente:
t(x) = (x-6)*f '(6)+f(6) = ...
Normale:
n(x) = (x-6)* (-1)/f '(6) +f(6) = ...

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Danke, ich habe die Zahlenverwechslung ediert.

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Aus eigener Erfahrung weiß ich: Wer weniger nach Punkten jagt, macht weniger Fehler pro Antwort.

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Was soll denn (-1)/f '(1) sein?

Answer 4

Hallo,

berechne das Integral $\int \limits_{-1}^{1}(x^3-3x-2)\;dx$

und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Ein Integral ist nicht nötig. Berechne 2*|x_E*f(x_E)| (x_E ist eine der Extremstellen) .

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Hallo Silvia. Wenn ich das Integral ausrechne bekomme ich 0 raus.

Was mache ich falsch?

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Schwer zu sagen, ohne deine Rechnung zu kennen.

Die Stammfunktion ist $H(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2-2x$

und $H(-1)=-\frac{13}{4}\qquad H(1)=\frac{3}{4}$

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Ich glaube ich hatte die Stammfunktion falsch. Ich rechne es neu. Danke dir