0 Daumen
691 Aufrufe

Aufgabe: Es sei n eine natürliche Zahl. Außerdem ist 3n+1 und 4n+1 beide jeweils Quadratzahlen. Zeigen Sie, dass n dann durch 8 teilbar ist.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Es ist also n=(4n+1) - (3n+1)   die Differenz zweier Quadratzahlen.

Es gibt also a,b mit a2 = 4n+1 und b2=3n+1 . Somit sind

a2 und b2 beide ungerade und damit auch a und b beide ungerade.

Es gibt also x,y aus ℕ mit a=2x+1 und b=2y+1 und

n=a2 - b2 = (2x+1)2 - (2y+1)2

             =4x2 + 4x+ 1 - 4y2 - 4y - 1

         =4(x2 + x - y2 - y)

         =4(x2 - y2 +  x - y)

        =4(  (x- y)(x+y) +  x - y)

        =4(x-y)(x+y+1)

und von den Faktoren x--y und x+y+1  ist mindestens einer

gerade, somit n=4(x-y)(x+y+1) durch 8 teilbar.


Avatar von 289 k 🚀

3*21 + 1  =  82

@hj2166:

Könnten Sie bitte kurz hier drüber schauen:

https://www.mathelounge.de/1010535/berechnen-sie-den-inhalt-der-endl…

Es geht um c II.

Danke.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage